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§ 10. 



Verallgemeinerung des Picardschen Satzes III. 



Ich will nunmelir eine Verallgemeinerung dieses Satzes im Sinne 

 meiner Sätze V und VI angeben und beweisen. 



Satz XXIII: Es sei F(j') für \x\ = 6 eindeutig, regulär 

 und von und 1 verschieden'); von der hiernach für |,rj = ö 

 (also in einem Kreisring 6i < | ./■ | < ö,, wo öj < 6 < ö,) regu- 

 lären Funktion-) 



Jlx) = 



{F(x)y- {F(x) - \y- 



sei nur der eine Koeffizient h^^) der für |^j = 6 (d.h. in jenem 

 Ringe) giltigen Laurentschen Reihe 



bekannt und von Null verschieden. Dann gibt es ein festes 



$= *(ö, 5,) 



(das also gleichmässig für alle Funktioneu F{x) mit dem- 

 selben 6i gilt), so dass im Ringe 



6 < |,/'i < 4>(6, 6i) 



F{x) singulär oder 



F{.,) = 

 oder 



F{x) = 1 



ist. Ich behaupte nämlich, dass der Ausdruck 



0(e,&J = Max. (1+^,0^2), 



"' 2 . 



WO A die Konstante des Satzes XXII für ■9'i=-^-, ■ö'» = ., ist, 



diese Eigenschaft besitzt. 



Beweis: Es ist nur zu zeigen: Wenn F(;x) für 



6<\x\<r 



regulär, 4= und 4= 1 ist und 



') Wenn auf jenem Kreise F(x) einen der Werte oder 1 annimmt, wäre 

 der Satz trivial. 



*) Statt 3, 2, 2 könnten drei beliebige positive ganze Zablen h, l, m stehen, 

 wenn nur l<'k, m<iJc, l -\- m>h ist. 



^) Statt bi kann auch ein beliebiger anderer Koeffizient 6„, wo n>Q ist, im 

 Wortlaute des Satzes stehen. 



