über den Picardschen Satz. 295 



F(a;)-l ^ . l_ 



Fix) Fix) ' 



also auch F(,r), womit der Picardsche Satz III bewiesen ist. 



§ 12. 

 Beweis des Schottkyschen Hilfssatzes mit Modulfunktionen. 



Man sieht, dass bei diesem Beweise von III aus dem Schottky- 

 schen Satz XIV nur die Tatsache benutzt wird: Wenn F{x) für \j:\<r 

 regulär, =(= und 4= 1 ist, so ist ebenda 



!/(a-) = I log F{x) I < X («o) (t^)' (-^O) 



wo e eine positive Konstante ist und % («„) eine nur von «o = F{0) 

 abhängende Funktion bezeichnet, welche für jedes Gebiet 



ko'^n- l«ol^— , l«o-ll^— (51) 



J2 Vi 



unterhalb einer endlichen Schranke liegt. 



Es ist nun von Interesse, festzustellen, ob sich eine solche Re- 

 lation (50) unter Heranziehung der Theorie der Modulfunktionen kürzer 

 beweisen lässt als durch Herrn Schottkys elementare Beweisanord- 

 nung '). Es wird sich zeigen, dass dies der Fall ist. 



Ich schicke einen Hilfssatz aus der Theorie der Modulfunktion 

 J{z) voraus ; derselbe besteht in der Relation 



i Jiz) 1 < B /"(^'-■' "*- 3'-) , (3 (f ) > 0) (52) 



wo B eine absolute Konstante bezeiciinet. 

 Beweis: 1) Für 



li = e 

 ist 



Da nun ./(.'■), als Funktion von // betrachtet, für // = eine ausser- 

 wesentlich singulare Stelle erster Ordnung besitzt und für 0<|/(|<1 

 regulär ist, ist für 0<|/j|<e~"^ d. h. für 3(2)^1 



\Jiz)\ < -|^ = 5/""»<-->< ße'"(^''' + Ä). (53) 



2) In 



') Die Schottkysclie Beweisführung beansprucht an sich das höchste Interesse. 



