302 Edimiml Lniulau. 



dies. Man könnte jedoch gegen dieses triviale Beispiel einwenden, 

 dass eine ganze transzendente, nicht rationale Funktion verlangt wird. 

 Auch diese Forderung lässt sich leicht erfüllen ; es sei 



[1 (.(■) = «2 .<■- + «3 .r^ H 



eine beliebige ganze transzendente, nicht rationale Funktion, für welche 



.9(0) = 0, 



g\0) = 

 und für >r | = c 



ist. Dann ist für j .x- 1 = c 



\g{x) |< — 2 + 3< — 2 + |.r|<|2 + a;|; 

 wenn 



/(./•) = 2 + X' 

 gesetzt wird und 



= 2 + .r + «2 j-2 ..] ^ 



so hat also F{x) nach dem auf Seite 301 zitierten Satz im Kreise 

 \x\<c genau so viele Nullstellen wie /(,.r), d. h. eine. Ebenso ist 



für 1 03 1 = c 



|r/Or) ,< 2 =-l-+-3<-l + |xi<|H-^:| = i/(.r) — 1 | ; 



also hat F{x) — 1 für | .r \ < c ebensoviele Wurzeln wie 



/(.r) -1 = 1 + 0;, 

 d. h. eine. 



Ein anderer Satz ähnlichen Wortlautes ist übrigens leicht als 

 Korollar des Schottkyschen Satzes XV beweisbar, nämlich 



Satz XXVI: Es sei 



F(x) = «0 + «1 ^ H 



für \x\<r konvergent und ebenda nicht =0 und höch- 

 stens in jj Punkten') =1. Dann liegt M (-j r\ unterhalb 

 einer nur von a^ und p abhängenden Schranke.-) 

 Beweis: Wenn f{x) durch die Gleichungen 

 F{x) = e^*"', 

 /(O) = Log flo 



') Mehrfache Einsstellen seien einfach gezählt. 

 2) Desgl. 31 {»r) für 0< *< 1. 



