über den Picardschen Satz. 303 



bestimmt ist, ist f{.r) für j x- 1 < r regulär und nimmt dort höchstens 

 ji unter den unendlich vielen Werten 2 km (A ganz) an, lässt also 

 mindestens zwei unter den p -\- 2 Werten 



0, 2jr/, ini, ••-, 2(p-hl)ni 



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 aus. Daher ist nach XV für | j- i < ^ r 



\fix)\<£l{a„2>l 

 also 



§ 15- 

 Bestimmung der Funktion cp {a,^, «j, • • •, «,,). 



Es sei n eine gegebene ganze Zahl > 1 und a^,n^, ■ ■ ■, «„ seien 

 «4-1 gegebene Konstanten, von denen die « letzten a^, ■ ■ ■, a^ nicht 

 sämtlich verschwinden. Wenn dann eine Funktion 



F{x) = (ig^a^ x~] \-a„J-"-\ ■ 



für ./■ < r regulär, 4= und 4= 1 ist, so liegt nach dem Schottky- 

 schen Satz XVI ;■ unterhalb einer festen Schranke. 

 Es existiert also eine Funktion 



(p («0 ,(?! ,«,,■■ •, rtj 



derart, dass jede für j ./■ | < qp -{- 8, aber nicht jede für \x\< (p — 8 

 reguläre Funktion mit jenen Anfangskoeffizienten in mindestens einem 

 Punkte des betreffenden Kreises oder 1 ist. Für w = 1 hat Herr 

 Caratheodory ') diese Funktion bestimmt ; im allgemeinen Falle, also 

 für n = 2, w = 3, • • • ist mir dies auf einem relativ einfachen Wege 

 gelungen, und ich will jetzt diese Lösung des Problems auseinander- 

 setzen. Übrigens wird Herr Caratheodory demnächst eine andere 

 Lösung veröffentlichen, welche auf transzendenteren Grundlagen be- 

 ruht, aber für andere Probleme grössere Tragweite besitzt und auch 

 an sich von hohem Interesse ist. 



Von der Kette von Sätzen, welche zu meiner Lösung des Prob- 

 lems führen, ist übrigens der erste, Satz XXVII, Herrn Caratheodory 

 schon bekannt gewesen, wie er mir mitgeteilt hat. 



Es sei 



/Gr) = l4-x--+-^A--H 



eine Potenzreihe mit den beiden Anfangskoeffizienten 

 •) S. Satz XVII. 



