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/(O) = 1, /'(O) =. 1, 



und es sei für | •'' | < r die Funktion /(./) regulär und 



1/C'0!<«, (57) 



so dass also jedenfalls 



K > 1 



ist. Dann ist nach dem Cauchyschen Satz 



j ^ M(r) ^ a 



Es fragt sich, ob f{x) wirklich in einem Kreise mit diesem Radius 

 die Relation (57) erfüllen kann. Man erkennt leicht, dass diese Frage 

 zu verneinen ist; denn aus 



/(..)=1a„x-" 



?i = 



folgt bekanntlich 



n = 



also hier 



1 +r'^< «-, 



r < ]'a-—l. 



Es entsteht also hier das Problem, bei gegebenem a diejenige Zahl ip, 

 also bei variablem a ( > 1) diejenige Funktion t («) zu bestimmen, 

 welche durch folgende zwei Eigenschaften charakterisiert ist: 



1) Keine für \x\<i) + Ö reguläre Funktion 



/(,.) = H- ,. + ... 



ist dort dem absoluten Betrage nach < a. 



2) Es gibt eine für , .x | < i^- — d reguläre Funktion 



/{u) = 1 + :c H , 



welche dort dem absoluten Betrage nach < k ist. 

 Satz XXVII: Es ist 



rb (a) ^ a — • — • 

 T \ / ^ 



Beweis: 1) Es ist zu zeigen: Wenn 



fix) = 1 + X H 



für |a:|<r regulär ist und die Bedingung (57) erfüllt, so ist 



r < a 



