31:i Edmund Landau. 



1) Es sei 



F{x) = ao + «1 X' -|- • • • + «„ X" -{ , 



wo nicht zugleich 



c«! -^ «2 = ■ ■ • = ^« = 



ist, für \x\<r regulär, 4= und =t= 1. Es sei 



" iu) = Co + f 1 {>/ - «o) + c^{y- (loY -\ (66) 



ein beliebiger Zweig der inversen Modulfunktion ; dann ist 



O (x) = V {F{x)) = Co + r, {ui a; H ) + c^ (aj x H )^ ^ 



= J5o 4- 5, r + B^x-^- h £„x'"H , (67) 



wo Bf,, Bu' ' ' < Bn iiur von ao, «i ,'•••, a„ abhängen, derart, dass um- 

 gekehrt ao, «1, ■ • • , ö„ eindeutig durch B^,, Bi, • ■ ■ , B,, bestimmt sind. 

 D. h., wenn die zu (66) inverse Potenzreihe 



A (./■) = «0 +C,{x — r,) + C, {x - c,y- H 



lautet, so hat 



l (ßo + Bi J- + B^ ■'■'H h ß„.i'"H ) 



= a„ + C, (£, X- + ^2 a'ä H ) + C, (A X + ^2 ./- H )2 



die Anfangskoeffizienten 



«0 + «1 .;■ 4- • • ■ H- a„ .r" + • • • 

 Für |ic|<>' ist (? (.t) regulär und 



3 (G (.'■)) >o. . 



Es werde nun 

 gesetzt. Wenn 



H(x)^ (JWjnA (68) 



H(x) = A X- H f- Ä^x"-i 



ist, sind J,, • ■ •, 4„ durch B^, Bj, ■ ■ •, B„ (also durch «(,, «i, • • •, a„) ein- 

 deutig bestimmt und umgekehrt 5, , • • • , i?„ eindeutig durch J[,, - • ■, A„. 

 Es verschwinden ferner 4, ,•••, 4„ nicht sämtlich, da dies sonst von 

 B^, ■ ■ •, B„, also von «,,•••,«„ gelten würde. Es ist für \x\<r die 

 Funktion //(x) regulär und 



\Hix)i<h 

 also 



r<t/^(0, A,,---,Ä„; 1), 



q> («Ol «1, • • • , a«) ^ ''' (0> ^1' ■ ■ ■ ' -■^n! !)• 



2) Ich behaupte, dass für Ug =t= 0, «o =H 1 ') 



q)(flo,a,,--- ,«„) = i/;(U, 4,, • • ■ ,^„; 1) (69) 



