Zur abzählenden Greometrie. 

 Die Inflexionen und die Doppeltangenten einer ebenen Kurve. 



Vom 



A. Beck. 



1. In einem frühem Aufsatz ,Über den Schnitt zweier Kegel 

 und über eine Steinersche Aufgabe betreffend ebene Kurven", Bd. 38 

 (1893) dieser Zeitschrift, habe ich zu Untersuchungen über ebene 

 Kurven von einer räumlichen Konstruktion Gebrauch gemacht, 

 die auch schon von andern benützt worden war : Von zwei beliebigen 

 Punkten 0,. 0' des Raumes aus werden die beiden Kegel gebildet, 

 welche die ebene Kurve ß von der Ordnung »; zur gemeinsamen 

 Leitlinie haben, und es wird die Raumkurve U konstruiert, in welcher 

 sich die beiden Kegel ausserdem noch schneiden und welche offenbar 

 von der Ordnung m (m — 1) ist. Bezeichnet P den Spurpunkt der 

 Geraden 0, 0' auf der Ebene von ß, so haben die von P aus an ß 

 zu legenden Tangenten ihre Berührungspunkte C'o in den Schnitt- 

 punkten von U mit ß. Auf diese Weise ergibt sich sofort die erste 

 Plückersche Formel : 



(1) u = m{m — l) — 2d — 3k, 



wo )H, u, d. /.■ die Ordnung, Klasse, Anzahl der Doppelpunkte und 

 Anzahl der Rückkehrpunkte bezeichnen. Die dualistische Übersetzung 

 liefert als zweite Plückersche Formel: 



(2) m = tf(n — \) — 2t — 3 /, 



{t = Anzahl der Doppeltangenten, i = Anzahl der Inflexionen '). Ich 

 habe dann gezeigt (a. a. 0. S. 20.5 — 206), wie man durch eine andere 

 ähnliche räumliche Konstruktion ebenso einfach die dritte Plückersche 

 Formel erhalten kann : 



(3) (■ - /,■ = 3 [n — m) 



Man füge nämlich zu dem Kegel <> ß eino^n beliebigen Kegel 

 zweiter Ordnung hinzu. 0' iü. und betrachte die Schnittkurve der 



') Veigl. Hodenberg, MuUieni. Amnilen, B<I. :26. 



Viei-teljahrsschrift d.JJaturf. Ges. Zürich. Jahrg. 51. I9Uß. ^-i^ 



