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beiden Kegel. Es lässt sich dann leicht die Anzahl der Schmiegungs- 

 ebenen, welche an diese Schnittkurve von und 0' aus gelegt 

 werden können, durch die Singularitäten von ß ausdrücken und indem 

 man diese beiden Anzahlen einander gleichsetzt, erhält man die 

 Formel 3. Mit den drei Formeln 1 — 3 sind aber alle andern Be- 

 ziehungen zwischen den Singularitäten der ebenen Kurve gefunden. 

 Im Nachfolgenden möchte ich die erste Konstruktion mit den 

 beiden Kegeln E, 0' ß noch weiter verfolgen und namentlich zeigen, 

 wie auch sie dazu benützt werden kann, die Anzahl der Inflexionen 

 und der Doppeltangenten einer ebenen algebraischen Kurve zu be- 

 rechnen. Ich beschränke mich dabei aber auf eine punkt-allgemeine 

 Kurve, setze also d = o, ä; = o. Dann ist 



(4) n = m (in — 1 ) 



und die zwei zu beweisenden Formeln lauten dann bekanntlich : 



(5) t = 3w(m — 2), 



(6) t = \ m {m — 2) (m - 3) (»« + 3). 



2. Die Raumkurve U, in welcher sich die beiden Kegel ß, 

 0' ß ausser in ß schneiden, hat die Eigenschaft, von einem Punkt 

 Q aus doppelt projiziert zu werden, der zu F harmonisch liegt in 

 Bezug auf 0, 0' . Nehmen wir dann Q als Kollineatiouszentrum und 

 die Ebene von ß als Kollineationsebene einer involutorischen zentrischen 

 KoUineation, so entspricht in dieser Kollineation dem Kegel ß der 

 Kegel 0' ß, während die Raumkurve U sich selbst entspricht. Legt 

 man durch P eine beliebige Gerade s in der Ebene von ß und sind 

 <7i, Q zwei auf s liegende Punkte von ß, so sind die Schnittpunkte 

 Ci • 0' C.2 = U^ 2 =^ U und C^-O' C^ = U^i = U' zwei konjugierte 

 Punkte von U. 



Der doppelt-projizierende Kegel Q U wird von der Ebene ß in 

 einer Kurve geschnitten, welche die harmonische Kurve § 

 von ß und P heissen möge und welche offenbar von der Ordnung 



— 7)1 (m — 1) ist. Jeder Punkt H dieser Kurve liegt harmonisch zu 



Pin Bezug auf zwei Punkte Cj, Cg von ß auf der Geraden PH. Die 

 Tangente in H an ,^ geht durch den Schnittpunkt der Tangenten in 

 C\ und Cj an ß, durch welchen auch die Tangenten in U und U' an 

 \\ gehen. 



3. In dem man .< sich um P drehen lässt, kann man noch einer 

 einfachen Bedingung in Bezug auf die Punkte C auf .s genügen. In 

 dieser Beziehung sind folgende drei Fälle hervorzuheben: 



a) Zwei Punkte L\ , Q sind unendlich benachbart oder s ist eine 

 Tangente Sg von ß, Berührungspunkt Cg. Ein Punkt H fällt 



