Die Inflexioneu und die Doppeltansreiiten einer ebenen Kurve. 485 



i) Der Punkt U JH = -B liegt auch auf 9i' . Dies tritt dann und nur 

 dann ein, wenn auf einer Erzeugenden des Kegels Q zwei Paare 

 konjugierter Punkte U liegen, also |) einen Doppelpunkt hat. 

 Jeder dieser vier Punkte U ist offenbar auch ein Punkt ß und 

 ein Punkt B'. Da nun die Zahl aller Punkte U 9i und die Zahl 

 der Punkte Ä bekannt ist, so hat man auch die Zahl der Punkte 

 B gefunden, und da je vier Punkte B auf einer Doppelerzeu- 

 genden Q i» liegen, so erhält man für die Anzahl der Doppel- 

 punkte der harmonischen Kurve: 



I )" ()H — 1)^ (m — 2) — ^ m (m — 1) (ni — 2) 



= -^ m {m - l) {iii — 2) (iii - 3). 



Der Fall 6 b ist mit 3 b identisch. 



Man kann leicht beweisen, dass die Kurve 9J von einem Punkt 

 Q\ aus dreifach projiziert wird, der zu 0' harmonisch konjugiert ist 

 in bezug auf und Q. Auf diesem Kegel Q\ liegen die Tangenten 

 von 9} in den Punkten ^4. Entsprechendes gilt für 9J' ; der Scheitel 

 Q, des dreifach projizierenden Kegels ist harmonisch konjugiert zu 

 in bezug auf 0' und Q und nach ilim hin gehen die Tangenten von 



:)}' in den Punkten Ä' . — Jede Gerade *„ liefert -y (»; — 2)(m — 3) 



Gerade durch Q, welche gleichzeitig Tangenten von SR und von SR' sind. 



7. Die Inflexioneu. Die Tangenten .s'^ von Pan ß haben mit 

 der Kurve ausser dem Berührungspunkt Co = C, C, noch m — 2 an- 

 dere Punkte C3 • • • gemein, von denen im allgemeinen keiner mit Cq 

 zusammenfällt, da P ein beliebiger Punivt in der Ebene ß ist. Es 

 wird also auch keiner der Punkte A in die Ebene ß fallen. So oft 

 ein Punkt A in die Ebene ß fallen würde, so oft würde durch P eine 

 Inflexionstangente von ß gehen und umgekehrt, so lange wenigstens 

 keiner der Scheitel 0, 0' in der Ebene ß liegt. 



Man wird also zu den Inflexioneu gelangen können, wenn man 

 den Punkt P nicht fest annimmt, sondern ihn eine gerade Linie j' 

 durchlaufen lässt, wozu nötig ist, auch einen der beiden Scheitel 0, 

 sich ändern zu lassen. Wir nehmen also an, 0' durchlaufe eine 

 gerade Linie g, deren Spurpunkt (} dann natürlich auf p liegen muss 

 (Fig. 2.). Die Punkte A werden dann eine Kaumkurve 91 beschreiben 

 und die Anzahl der Inflexioneu von ß wird bestimmt werden können, 

 wenn wir angeben können, wie viel Punkte von 91 in die Ebene ß 

 fallen. 



Da aber jede andere Ebene die Kurve 9( in der gleichen Anzahl 

 von Punkten schneidet, so wählen wir eine Ebene s, die beliebig 

 ■durch den festen Punkt gelegt wird und deren Spur irgend eine 



