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Gerade e in der Ebene E ist. Wir sind dann leicht im Stande, die 

 Punkte A anzugeben, die in diesei' Ebene e liegen. Wenn A in e 

 liegt, so liegt Cq auf e. Es gibt also in Punkte Cg. In jedem der- 

 selben legen wir die Tangente, welche auf p den Punkt P und auf 

 6 die Punkte C3 ,••• bestimmt. Indem wir P mit verbinden, er- 

 halten wir auf g den Punkt 0' und die Gerade 0' C-^ bestimmt dann 

 auf Cq den Punkt A. Die Anzahl solcher Punkte A in e ist also 

 gleich m {in — 2). 



Aber es fragt sich nun, ob der Punkt selbst auch zur Kurve 

 9( gehöre, entsprechend gewissen speziellen Lagen der Ebene e durch 

 0. In der Tat können wir solche spezielle Lagen leicht angeben. 

 Wenn nämlich A mit zusammenfallen sollte, so müsste die Ge- 

 rade 0' A mit 0' 0, also C.^ mit F zusammenfallen. Auf jt liegen in 

 solcher Punkte C^ = P; von jedem derselben gehen n — 2 Tangenten 

 an 6 und gleichzeitig erhalten wir die zugehörige Lage von (J auf ^. 

 Entsprechend diesen speziellen Lagen von e fallen also vi (« — 2) 

 Punkte A nach 0. Diese Ebenen « bilden ni (it — 2) Ebenenbüschel, 

 deren Achsen nach den m (n — 2) Berührungspunkten auf S gehen. 

 Diese Achsen sind also die Tangenten von ?( in dem 111 (n — 2)-fachen 

 Punkt 0. 



Nach dem Vorigen ergibt sich als Ordnungszahl der Kurve 3(: 

 m (jH — 2) + m {11 — 2) = III {111- — 4). 



Nun ist aber zu bedenken, dass der Punkt 0' , indem er die Ge- 

 rade ff durchläuft, auch einmal in die Ebene t£ fällt, nach 6, mit 

 dem dann auch P zusammenfällt. Auch für diese spezielle Lage lässt 

 sich die Konstruktion der Punkte A durchführen; sie fallen in die 

 Berührungspunkte der Tangenten von G an ß und zwar je ()« — 2) 

 mal, weil auf jeder dieser Tangenten in — 2 Punkte C'j liegen (Fig. 2). 

 Diese /* (m — 2) Punkte von 3t in der Ebene ß haben also nicht die 

 Bedeutung von Inflexionspunkten der Kurve S. Rechnen wir sie ab, 

 so bleibt als Anzahl der Inflexionspunkte: 



i = m (iir — 4) — m {m — 1) {in — 2) = 3 in {m — 2), w. z. b. w. 



8. Die Doppeltangenten. Nachdem i bestimmt ist, könnte 

 man / nach Formel 2 berechnen. Wir wollen aber zeigen, wie t auch 

 direkt abgeleitet werden kann in ähnlicher Weise wie i. 



Dazu betrachten wir wieder die Tangenten s„, welche von P an 

 S gehen und welche S noch je in in — 2 Punkten C\, C^, • ■ ■ schneiden. 

 Je zwei dieser Schnittpunkte bestimmen ein Paar konjugierter Punkte 

 von U, die wir mit F bezeichnen wollen. Zu jeder Tangente .s„ ge- 

 hören also y ()» — 2) {in — 3) solcher Punktepaare T'. Würde x^ eine 

 Doppeltangente sein, so würde in jedem ihrer beiden Berührungs- 



