Die Intlexioneii und die Üoppellangenten einer ebenen Kurve 



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punkte ein Paai' konjugierter Punkte V in der Ebene ß zusammen- 

 fallen. Umgekehit würde ein in die Ebene S fallender Punkt V eine 

 Doppeltangente durch F anzeigen, so lange wenigstens keiner der 

 beiden Scheitel 0, 0' in der Ebene ß liegt. 



Nun wenden wir dasselbe Verfahren an wie in 7, indem wir O' 

 eine Gerade g beschreiben lassen, so dass P in der Ebene 6 eine 

 Gerade jj beschreibt, welche durch den Spurpunkt C! von g geht. 

 Dann beschreiben die Punkte V eine Raumkurve i\ deren Ordnung 

 zu bestimmen ist. Wir legen wieder durch eine beliebige Ebene e, 



deren Spur e sei, und 

 bestimmen die Anzahl 

 der Punkte V, die in 

 dieser Ebene liegen 

 (Fig. 3). Der Punkt C, 

 ist jetzt ein Schnitt- 

 punkt von (i mit e. 

 Indem wir von ihm aus 

 die Tangenten an ß 

 legen, erhalten wir die 

 Punkte C, und auf p 

 den Punkt P, daraus 0' 

 auf r/ und endlich Fals 

 Schnittpunkt von Cj mit 0' (\. Die Zahl der so erhaltenen Punkte 

 V beträgt also : 



m (n - 2) (jH — :}) = m [m — 2) (ni — 3) (m -+■!). 

 Unter den Ebenen 8 durch gibt es aber spezielle, für welche 

 auch ein Punkt von iB wird. Soll nämlich V nach fallen, so 

 muss die Gerade 0' V mit der Geraden 0' 0, also der Punkt C\ mit 

 P zusammenfallen. Diese Punkte C^ sind also die m Schnittpunkte 

 von 2' mit ß- Von jedem gehen « — 2 Tangenten an ß und auf 

 jeder derselben liegen m — 3 Punkte Cj, durch welche die Spur e 

 gehen muss. Die Anzahl der nach fallenden Punkte F beträgt also: 



III (1/ — 2) [iii — 3) = m {m — 2) (m — 3) [m + 1), 

 so dass wir für die Ordnungszahl der Kurve i> erhalten: 

 2 in [III — 2) im — 3)(^(h + 1). 



Die speziellen Ebenen e bilden m {n — 2]{m — 3) Ebenenbüschel, 

 deren Achsen nach den Punkten t', gehen ; diese Achsen sind die 

 Tangenten von 35 in dem vielfachen Punkt (). 



Was nun die Sclmittpunkte von i^ mit der Ebene ß betrifft, so 

 ist zu beachten, dass sie nur dann zu Doppeltangenten führen, wenn 

 0' nicht in der Ebene ß liegt. Fällt der Punkt 0' , indem er g durch- 



