SitzunK vom -i'j. Januar l'JH. XVII 



durch jeden Punkt zu jeder Geraden eine Parallele konstruieren. Da es Eu- 

 klid nicht gelang zu beweisen, dass es ausser dieser Geraden keine zweite, 

 durch den Punkt gehende, zur gegebenen Geraden parallele Gerade geben 

 könne, führte er die Forderung ein, dass wenn eine Gerade zwei Ge- 

 rade trifft und mit ihnen auf derselben Seit e innere Winkel bildet, 

 die zusammen kleiner sind als zwei Rechte, so sollen die beiden 

 Geraden, ins Unendliche verlängert, schliesslich auf der Seite zu- 

 sammentreffen, auf der die Winkel liegen, die zusammen kleiner 

 sind als zwei Hechte. Gestützt auf dieses Parallelenpostulat oder 

 Parallelcnaxiom ergibt sich dann leicht, dass zwei parallele Gerade überall 

 ikn gleichen Abstand haben, dass die Winkelsumnic im Dreieck zwei Rechte 

 beträgt, usw. 



Nun zweifelte wohl bis in das 19. Jahrhundert niemand an der Richtigkeit 

 des Paiallclenaxioms. Euklid wurde, und zwar schon von seinen ersten 

 Konnuentatoren, lediglich getadelt, dass er den Satz unter die Axiome auf- 

 genommen habe, ihn also als einfach und selbstverständlich genug erachtete, 

 um keines Reweises für ihn zu bedürfen. Damit war die Aufgabe gestellt, den 

 Satz als eine Folgerung aus den übrigen Axiomen abzuleiten. Aber die un- 

 gezählten Versuche, die unternommen worden sind, um dieses „Ärgernis der 

 Elementargeometrie", wie sich d'Alembert ausdrückte, zu beseitigen, blieben 

 alle erfolglos, meist weil das zu Beweisende in einer andern Form still- 

 schweigend oder ausdrücklich vorausgesetzt wurde. 



Der italienische Jesuitenpater Saccheri (16G7— 1733) hatte als Erster den 

 neuen Gedanken, das Parallelenaxiom als falsch vorauszusetzen, um diese An- 

 nahme in ihren Folgerungen ad absurdum zu führen. Das Werk von Saccheri, 

 betitelt: „Euklid von jedem Makel befreiet", erschien in lateinischer 

 Sprache 1733. Reltrami hat es 1889 wieder ans Licht gezogen, als ein 

 wichtiges Dokument zur Vorgeschichte der nichteuklidischen Geometrie. 



Saccheri's Gedankengang ist in seinen grossen Zügen so durchsichtig, dass 

 ich ihn zum Ausgangspunkt meiner Entwicklungen machen kann. In den 

 Punkten A und B einer Geraden seien zwei gleichlange, in einer Ebene 

 liegende Strecken ÄJD und BC unter rechtem Winkel gegen AB gezogen, 

 und ihre Endpunkte durch eine Gerade CD verbunden. In dem entstandenen 

 Viereck AB CD sind die Winkel bei C und D einander gleich, wie sich leicht 

 beweisen lässt, wenn man das Viereck durch seine Diagonalen in Dreiecke 

 zerlegt. Dass aber diese Winkel Rechte sind, lässt sich nur be- 

 weisen, wenn man das Parallelenaxiom voraussetzt. Da wir diese 

 Voraussetzung nicht machen wollen, ergeben sich mit Saccheri drei Hypo- 

 t hesen : 



1. die Hypothese des si>itzen Winkels, 



2. die Hypothese des rechten Winkels, • 



3. die Hypothese des stumpfen Winkels. 



Saccheri zieht nun aus jeder dieser Hypothesen Folgerungen in der Ab- 

 sicht, die Hypothesen des spitzen oder stumpfen Winkels als „ganz und gar 

 alsch" verwerfen zu können, um ans der Hypothese des rechten Winkels das 

 Parallelcnaxiom zu beweisen. Aber die Argumente von Saccheri gegen die 

 erste und die dritte Hypothese sind nicht stichhaltig. 



Bevor ich aber Folgerungen aus den Hypothesen anführe, habe ich Saccheri 

 zu verteidigen gegen den Vorwurf, dass er Annahmen getrott'en habe, die doch 

 augenscheinlich wider alle Erfahrung Verstössen. Nun würde ja allerdings eine 



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