XVIII Grossmann. XichteukliJische Geometrie. 



Konstruktion, die wir mit der grössten möglichen Präzision ausführen würden, 

 uns eine Figur liefern, in welcher der Unterschied der Winkel bei C und D 

 von einem Rechten, wenn überhaupt nachweisbar, so klein wäre, dass wir ihn 

 unbedenklich den unvermeidlichen Ungenauigkeiten der Instrumente und ihrer 

 Handhabung zuschreiben dürften. Aber dieses konstruktive Experiment lässt 

 sich doch naturgemäss nur ausführen bei verhältnismässig kleinen Figuren, 

 während es doch denkbar wäre, dass die Abweichung der beiden Winkel von 

 einem Rechten mit den Dimensionen der Figur wachsen könnte. Genau diese 

 Sachlage haben wir ja vor uns, wenn wir die Figur auf der Kugeloberfläche 

 konstruieren: Würden Sie die Figur von Saccheri durch einen Geometer auf 

 der Wollishofer Allmend abstecken lassen, so würde er keinen Widerspruch 

 mit der Hypothese des rechten Winkels erwarten, und den äusserst geringen 

 Unterschied, den seine gemessenen Winkel nach erfolgter Ausgleichung noch 

 von einem Rechten hätten, den Ungenauigkeiten des Experimentes zuschreiben. 

 Wenn aber die Seiten der Figur viele Kilometer messen würden, und also 

 grösste Kreise der Kugel wären, so würden die Winkel bei C und D nach- 

 weisbar von einem Rechten abweichen, wie man, weniger kostspielig, au einem 

 Globus prüfen kann: auf der Kugeloberfläche gilt die Hypothese des 

 stumpfen Winkels, trotzdem uns kleine sphärische Figuren das Gegenteil 

 erwarten Hessen. 



Aber das Zeugnis der Anschauung gegen zwei unserer Hypothesen ist nocli 

 aus einem anderen, prinzipiellen Grunde zu verwerfen. Die wissens('liaftliche 

 Geometrie postuliert die bcgriffliclie Existenz von Punkten, Geraden und 

 Ebenen, legt die Beziehungen, die zwischen Ihnen bestehen sollen, in Axiomen 

 fest, und zieht die logischen Konsequenzen, unbekümmert darum, ob es in 

 unserer JCrfahrungswelt Dinge gebe, die, wenn auch nur annähernd, diese Be- 

 ziehungen verwirklichen. vSo aufgefasst ist die Geometrie eine reine Geistes- 

 wissenschaft, neben der Logik, der Arithmetik und der Analysis wohl die 

 eigentlichste, die es gibt. Unsere phjsikallschen und physiologischen Er- 

 fahrungen dienen uns zwar als Führer bei der Zusammenstellung der axio- 

 matischen Grundlagen, sie können aber auch, wie unser Beispiel zeigt, zu Ver- 

 führern werden, so dass ihnen keine Beweiskraft in der wissenschaftlichen 

 Geometrie zugebilligt werden kann. Daher wollen wir unter Geometrie vor- 

 läutig lediglich ein logisches Gebäude verstehen, die Überbrückung der Kluft, 

 die zwischen ihr und der angewandten Geometrie besteht, erst nachher erörtern. 



Wenden wir uns nach dieser notwendigen Abschweifung wieder der Figur 

 und den drei Hypothesen von Saccheri zu. Die Folgerungen aus den Hypothesen 

 des spitzen und des stumpfen Winkels sind Sätze der nichteuklidischen 

 Geometrie, ohne dass Saccheri ihre Tragweite erkannt hätte. 



Saccheri zeigt, dass die Verbindungsgerade der Mittelpunkte 31 und N der 

 Seiten A B bezw. CD zu diesen Seiten rechtwinklig steht, also eine Symmetrie- 

 axe der Figur ist. Ferner ergibt sich, dass wenn die eine der Hypothesen 

 bei einer Figur gilt, sie bei allen Figuren, welches auch ihre Dimensionen seien, 

 gilt. Aus diesem Satze folgt, dass es in der nichteuklidischen Geometrie keine 

 Rechtecke gibt; denn in jedem Viereck mit drei rechten Winkeln, wie AMN T), 

 is't der vierte Winkel von einem rechten verschieden. Ohne Schwierigkeiten 

 beweist man, dass die Seite CD grösser, gleich oder kleiner ist als die Seite 

 AB, je nachdem die Hypothese des spitzen, rechten oder stumpfen Winkels gilt. 



Ist ferner ABC ein bei B rechtwinkliges Dreieck, so ergibt sich, dass die 

 Summe seiner drei Winkel kleiner, gleich oder grösser als zwei Rechte ist, je 



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