Sitzung vom !29. .lanuar l'.>l:i. XIX 



nachdem die Hypothese des spitzen, rechten oder stumpfen Winkels gilt. Denn 

 errichtet man in A die Senkrechte AB zu AB und macht sie gleich B C, so 

 ist das Viereck AB CD wieder die Saccheri'sclie Figur. Da nun CD grösser, 

 gleich oder kleiner ist als AB, so ist der Winkel if = DA C grösser, gleich 

 oder kleiner als der Winkel y = A CB, da die beiden Teildreiecke zwei Paare 

 gleicher Seiten haben, und sich der Satz, dass der grösseren dritten Seite der 

 grossere Winkel gegenüberliege, ohne das Parallclenaxiom beweisen lässt. Nun 



ist aber rf = 1 Rechter — «, und also ;• 1 Rechter — «, somit « + 3 + 



1 Rechter = 2 Rechte. Durch Zerlegung eines beliebigen Dreiecks in zwei 



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 rechtwinklige Dreiecke beweist man den Satz über die Winkelsunime auch für 

 ein solches. 



Von besonderem Interesse ist nun, dass man beweisen kann, dass der 

 Unterschied der Winkelsumme eines Dreiecks von zwei Rechten in jeder der 

 beiden nichteuklidischen Geometrien um so grösser ist, je grösser die Fläche 

 des Dreiecks ist, ja dass dieser Unterschied dem Flächeninhalt des Dreiecks 

 proportional ist. Denkt man sich daher ein gleichseitiges Dreieck, und gilt 

 die Hypothese des spitzen Winkels, so sind die Winkel dieses Dreiecks einander 

 zwar gleich, aber kleiner als 60°, und zwar ist dieser Unterschied um so grösser, 

 je grösser die Seite des Dreiecks ist. Hieraus folgt doch, dass es in der nicht- 

 euklidischen Geometrie keine ähnlichen Figuren gibt: denn verdoppelt man die 

 Seiten eines gleichseitigen Dreiecks, so verkleinern sich dessen Winkel. 



Schon Saccheri hat mit Recht diejenigen getadelt, die das Parallelenaxiom 

 zu beweisen versuchten, indem sie zwei Gerade parallel nannten, die überall 

 den nändichen Abstand haben. Denn wollte man von dieser Definition aus- 

 gehen, so hätte man vor allem die Existenz solcher Geraden nachzuweisen, 

 was sich aber ohne das Parallelenaxiom nicht machen lässt. 



Sind nämlich AB, BC, CD gleiche Strecken einer Geraden, und sind 



die Lote AAi,BBi, CCi,DDi alle gleich lang, so sind die entstehenden 



kongruenten Vierecke Saccheri'sclie Figuren, und die vierten Seiten A^B^^ B^Ci, 

 C^Di, .... bilden mit den Loten gleiche, und zwar spitze, rechte oder stumpfe 

 Winkel, je nach der angenommenen Hypothese. Sind die Winkel rechte, also 

 in der euklidischen Geometrie, so fallen die vierten Seiten alle in eine Gerade 

 und diese ist parallel zu der gegebenen Geraden. In den beiden andern Fällen, 

 (1. h. in der nichteuklidiscben Geometrie, bilden die vierten Seiten einen ge- 

 brochenen Linienzug, und die Endpunkte aller Lote eine Kurve, die sog. 

 Abstandslinie, die bei der Hypothese des spitzen Winkels ihre konkave, 

 lici derjenigen des stumpfen ihre konvexe Seite der Geraden zuwendet. Die 

 .\bweicbung der Abstandslinie von einer Geraden ist um so grösser, je grösser 

 der aufgetragene Abstand ist. 



Auf Grund der entwickelten Sätze kann man nun bei jeder der drei Hypo- 

 thesen zum Parallelenaxiom Stellung nehmen. 



L Das Parallelenaxiom gilt, wenn man die Hypothese des 

 rechten Winkels macht, d. h. Euklids Forderung ist eine Folge dieser 

 Hypothese. Ist g eine beliebige Gerade, A ein nicht auf ihr liegender Punkt, 

 so gibt es durch A demnach eine einzige Gerade, die g nicht schneidet, die 

 Parallele, deren Punkte von der Geraden c/ konstanten Abstand haben. Seit 

 Desargues (l.j9;l— 1662) bedient man sich auch der Ausdrucksweise, zwei 

 liarallele Goraden hätten einen unendlich fernen Schnittpunkt. Nach dem 



