XX Grossmann. Nichteuklidische Geometrie. 



Parallelenaxiom hat denmacli jede Gerade einen unendlich-fernen Punkt. Man 

 beachte, dass diese zweckmässigen Ausdrucksweisen eine Erweiterung des Be- 

 griffes „Punkt' in sich schliessen und die unendlich-fernen Punkte lediglich 

 begriffliche Existenz haben. 



2. Das Parallelenaxiom gilt nicht, wenn man die Hypothese des 

 spitzen Winkels macht. Die durch einen Punkt A gehenden Geraden 

 einer Ebene zerfallen demnach bezüglich einer Geraden f/ dieser Ebene in zwei 

 Kategorien: schneidende und nicht schneidende. Das Büschel der 

 sehneidenden wird vom Büschel der nichtschneidenden getrennt durch zwei 

 Gerade, die sich der Geraden </ asymptotisch nähern, und die man die beiden 

 Parallelen durch .^1 zu (/ nennt. Einer Geraden werden demnach in dieser 

 nichteuklidischen Geometrie zwei unendlich-ferne Punkte zugeschrieben. Ist 

 a der Abstand des Punktes A von der Geraden .17, so ist der Winkel tt der 



beiden Parallelen mit dem Lot gegeben durcb die Formel tq ~ :i ^ e~ '^. " o 



k eine für diese Geometrie charakteristische Konstante ist. Für den besonderen 

 Fall der euklidischen Geometrie ist k— y.. 



3. Das Parallelenaxiom gilt, wenn man die Hypothese des 

 stumpfen Winkels macht. .\lle durch einen Punkt A gehenden Geraden 

 einer Ebene schneiden jede Gerade dieser Ebene in endlicher Entfernung. Die 

 Gerade hat keine unendlich-fernen Punkte, sondern ist als eine im Endlichen 

 geschlossene, in sich zurücklaufende Linie zu betrachten, wie auch der Itauni, 

 d. i. die Gesamtheit der Punkte dieser Geometrie von endlicher Ausdehnung 

 ist, da er in sich zurückläuft und daher trotzdem nirgends eine Grenze hat. 

 Die Unendlichkeit des Raumes ist demnach keine Denknotwendigkeit. 



Die Gegenüberstellung der Sätze der drei Geometrieen lässt erkennen, 

 dass die euklidische Geometrie einen Übergangsfall zwischen den beiden nicht- 

 euklidischen bildet. Dies wird deutlich, wenn man die trigonometrischen Formeln 

 der drei Geometrieen vergleicht. Sind a und b Seiten eines Dreiecks, « und ß 

 die ihnen gegenüberliegenden Winkel, so heisst die Beziehung zwischen diesen 

 Stücken in der euklidischen Geometrie 



a : ö -= sin « : sin ,-(. 

 In der nichteuklidischen Geometrie tritt an Stelle dieser Formel 



sin -y^ : sin -j-^ = sin « : sin ,^, ^i = y — 1 j. 



wo k die bereits erwähnte Konstante ist, die bei der Hypothese des stum))fen 

 Winkels rein imaginär ist, Lässt man diese Konstante unendlich gross werden, 

 so geht die zweite Formel in die erste über. Dieser Fall tritt aber auch ein, 

 wenn man a und 6, d. i. die Seiten des Dreiecks unendlich klein werden lässt, 

 woraus man .schliesst, dass für unendlich-kleine Figuren der nichteuklidisclien 

 Geometrie die Sätze der euklidischen Geometrie gelten, so dass z. B. für un- 

 endlich-kleine Dreiecke die Winkclsumme unendlich wenig von zwei Rechten 

 verschieden ist. 



Saccheri hat, wie schon erwähnt, nur einen Teil dieser Sätze gefunden, 

 im Verlaufe seiner Deduktionen Fehlschlüsse gemacht, die ihn zu dem falschen 

 Resultate führten, die erste und dritte seiner Hypothesen zu verwerfen. Es 

 ging noch einmal fast hundert Jahre, bis mehrere Forscher, fast gleichzeitig 

 und unabhängig von einander, unvoreingenonmien genug an das Problem traten. 

 Gauss war wohl der Erste, der die Unbeweisbarkeit des Parallelenaxioms 

 einsah. Wir wissen aus seinem Briefwechsel, dass er von 1792 ab die Sätze 



