Sitzuiip; vom •2'K .l.inuar IHl'J. XXI 



der iiichtculvliiiischcn Gooiuetric für sich entwickelte, oliue tVeilicli seine 

 Resultate zu verOtt'entlichen, da er „das üeschrei der Bocoter fürclitcte". Als 

 die ße;,'ründer der niciiteuklidischen üeometrie im Sinne der Hypothese des 

 spitzen Winkels haben der Russe Nikolaus Lobatschefsky und der Ungar 

 Johann nolyai zu gelten, die in den Jahren 1829 bczw. 1831 die logische 

 Möglichkeit einer vom Parallelenaxiom unabhängigen Geometrie veröffentlichten, 

 ohne freilich viel Beachtung zu hnden. Riemann wies im Jahre 1854 auf die 

 dritte mögliche (Jeometrie iiin, aber erst im letzten Drittel des 19. Jahrhunderts 

 ist die nichteukliilische Geometrie Gemeingut der Mathematiker geworden. 



Die Untersuchungen dieser Entdecker der nichteuklidischen Geometrie 

 haben gezeigt, dass man unabhängig vom l'arallelenaxiom eine Geometrie ent- 

 wickeln kann, die in sich widerspruchslos ist, ja, wie man später bewiesen hat, 

 zu keinen Widersprüchen führen kann, auch wenn man die P'olgerungen noch 

 so weit treibt. Denn es gelang zwischen den Sätzen der nichteuklidischen und 

 der euklidischen Geometrie eine solche Beziehung herzustellen, dass jedem 

 Widerspruch der einen Geometrie ein Widerspruch der andern entsprechen 

 wüide. 



Hatte man sich so von der logischen Möglichkeit der niciiteuklidischen 

 Geometrie überzeugt, so entstand naturgemäss die Frage, welche der drei 

 Geometrieen nun „die richtige' sei, d. b. welche von ihnen in unserem Er- 

 fahrungsraum gelte und zusammen mit der Mechanik und der Physik ein ge- 

 ordnetes Weltbild liefere? Es war naheliegend, an ein Experiment zur Ent- 

 scheidung dieser Frage zu denken. Aber bevor ich die Schwierigkeiten eines 

 solchen Experimentes schildere, bedarf die Fragestellung selbst der Präzisierung. 

 Es kann sich selbstverständlich nicht darum bandeln, die logische Richtigkeit 

 des einen oder andern Systems durch ein Ex|)eriment darzutun, da ja die Ge- 

 bilde der reinen Geometrie nur in der Idee existieren und die eine der Geo- 

 metrieen logisch so richtig ist wie die andere. Man hätte vielmehr zu ver- 

 langen, dass das I'L\periment entscheide über die näherungs weise Anwend- 

 barkeit der einen oder andern Theorie auf die empirischen Raumgebilde, die 

 unsere Erfabrungsw'elt ausmachen. 



Man denke sich eine metallene Oberfläche, nach den besten Methoden, 

 über die der Feinmechaniker verfügt, „verebnet", und auf ihr ein Dreieck mit 

 ebenso fein gearbeiteten Instrumenten verzeichnet, so wird uns die Addition 

 seiner Winkel, auch wenn wir den gleichen Versuch noch so oft wiederholen, 

 in Ungewisseit darüber lassen, welche der drei Geometrieen wir zur Anwendung 

 zu bringen haben. Denn der beobachtete Unterschied der Winkelsumme von 

 zwei Rechten wird vermutlich zum Teil positiv, zum Teil negativ ausfallen und 

 so klein sein, dass er seine Quelle ebensogut in der mangelhaften Realisierung 

 des „Dreiecks", als in der Nichtanwendbarkeit der euklidischen Geometrie 

 haben kann. Wir werden daher zum mindesten zur Überzeugung gelangen, 

 dass unser Versuchsdreieck zu klein sei. Untersuchen wir aber, wie dies 

 schon Gauss getan hat, ein (ebenes) Dreieck, dessen Ecke Signalpunkte auf 

 Üergspitzen sind, so ist das Resultat kein anderes, ja es erheben sich sogar 

 neue theoretisclie Bedenken. Denn die Seiten des Dreiecks sind nun Licht- 

 strahlen, und unser Versuch setzt voraus, dass dies Linien gleicher Art seien, 

 wie die „(jeraden", die am Messinstrumente, am Theodolit verwirklicht sind, 

 ganz abgesehen von anderen physikalischen Schwierigkeiten des Exi)erimentes. 

 Die nätniichen prinzipiellen Einwände wären zu machen, wenn man, wii' dies 

 schon Lobatschefsky getan hat, Dreiecke von astronomischen Dimensionen 



