Sitzung vom 29. Januar l>)l-i. XXIII 



uml der farbigen Intuition der Kintritt versclilossen sein inuss. Innncriiin 

 durften einer Versammlung, die vor Jahresfrist mit Einstein an den Grund- 

 begriffen von Raum und Zeit gerüttelt hat, schon einige Zumutungen gemacht 

 werden. Übrigens liegt die Sache liier einfacher als bei der Relativitätstheorie. 

 Einmal gilt heute der Angriff bloss dem Kaum, und dann handelt es sich um 

 uralte Untersuchungen, die jetzt wesentlich abgeschlossen sind und sich über- 

 blicken hissen. 



Wer eine Geometrie logisch aufbauen will, beginnt damit, dass er alle 

 ihre Voraussetzungen in Axiome formuliert. Eine der nächsten und wich- 

 tigsten Aufgaben ist es dann, die Frage nach der Abhängigkeit dieser Axiome 

 zu beantworten. (Ein Axiom heisst abhängig von andern, wenn es logisch 

 aus jenen gefolgert werden kann.) Stellt man sich im Rahmen unserer Geo- 

 metrie diese Frage für das Parallelenaxiom Euklids, so gelangt man zum 

 Hauptproblem der nichteuklidischen Geometrie. Wir haben heute erfahren, 

 dass die Frage verneinend zu beantworten ist. 



Jenes berühmte Axiom ist unabhängig und kann durch andere ersetzt 

 werden. Dann entstehen neue, nichteuklidische Geometrieen. 



Über den Beweis der Unabhängigkeit möchte ich etwas bemerken. P^r 

 wird geführt, indem man zeigt, dass die neuen Geometrieen ebenso logisch 

 sind wie die gewöhnliche. Beltrarai suchte das zu tun, indem er nachwies, 

 dass eine neue Geometrie geradezu auf gewissen Flächen unseres Raumes gültig 

 ist, wenn man nur statt der Verbindungsgeraden zweier Punkte der Fläche 

 jewcilen die kürzeste Linie zwischen den Punkten einführt. Aber der Beweis 

 ist erst stichhaltig, wenn man derartige Flächen angeben kann, die keine sog. 

 Singularitäten (Ecken, Kanten etc.) aufweisen. Solche Flächen waren Beltrami 

 keine bekannt, und Hubert hat in neuerer Zeit auch bewiesen, dass es deren 

 gar keine geben kann. 



Glücklicherweise lieferte die sog. projektive Massbestinimung Cayley's 

 das Mittel, jenen Unabhängigkeitsbeweis restlos zu führen. Danach können 

 gewisse geometrische Verhältnisse in unserem gewöhnlichen Raum als uicht- 

 euklidischc Beziehungen gedeutet werden; so zwar, dass jeder Konstruktion 

 im einen Raum eindeutig eine im andern Raum entspricht und umgekehrt. 

 Wenn daher eine Geometrie einen Widerspruch enthält, so muss dieser auch 

 in der andern auftreten. Beide Geometrieen sind logisch „gleich richtig". 



Diese erkenntnistheoretische Einsicht ist ein Hauptresultat nichteukli- 

 discher Untersuchungen. Ein weiteres betrifft den Erfahrungsraum. Wir wissen 

 heute, welche Messungen wir anstellen müssen, um die Frage zu entscheiden, 

 ob wir besser tun, unsern Erfahrungsraum euklidisch oder niciit euklidisch 

 vorauszusetzen. Bemerkenswert ist, dass für den letztern die Sachlage eigent- 

 lich günstiger ist. Es wird uns nämlich nie möglich sein, etwa durch Mes- 

 sungen crfahrungsgemäss festzustellen, dass im Dreieck die Winkelsumme 

 genau 180^ beträgt; schon deswegen nicht, weil einer physikalischen Messung 

 nie mathematische Schärfe zukommt. Dagegen ist wohl denkbar, dass (bei 

 genügender Ausdehnung unseres Massbereiches) Abweichungen von 180° ge- 

 messen werden, die sich am einfachsten durch Annahme eines nichteukli- 

 dischen Raumes (mit genügend schwaciier Kiümmung) erklären lassen. Das 

 kann auch aus andern Gründen zweckmässig werden, und ich halte hier — 

 vielleicht in einigem Gegensatz zum Vortragenden — Überraschungen nicht 

 für ganz unwahrscheinlich. 



