2.2.C Di alcune proprietà ec. 



diiniuuzionc. Eulero poscia nell' iiUrocluzione all' analisi degl' 

 infiniti spiegò l'uso delle frazioni continue periodiche a rap- 

 presentar le radici dell' equazione di 2," grado, e giovossi pure 

 delle frazioni continue in altre occasioni di profonde e inge- 

 gnose ricerche ; siccome Giovanni Bernonlli non meno felice- 

 mente le adoperò all' uopo di agevolar la costruzion delle ta- 

 vole delle parti proporzionali a vantaggio specialmente degli 

 Astronomi. Al genio però di Lagrange riserbavasi di aprire an- 

 che in questa, come in ogni altra jiarte della scienza del cal- 

 colo, una vena fecondissima di aurei metodi per trattare una 

 moltitudine di argomenti e risolvere un' infinità di problemi. 

 E noto infatti che nelle frazioni continue egli fondava il suo 

 metodo spedito ed elegantissimo di sciogliere per approssima- 

 zione le equazioni numeriche di tutti i gradi; nella quale op- 

 ])ortunità, oltre ad altre belle vedute circa il maneggio di tali 

 frazioni per semplificarne l'uso e accrescere la convergenza 

 de' successivi loro valori a quello che rappresentano, egli pel 

 primo dimostrava il teorema che la frazione continua espri- 

 mente una radice di secondo grado è necessariamente perio- 

 dica. Nò agli usi egli arrestavasi delle frazioni continue nelle 

 operazioni elementari dell'Algebra, ma stendevali pure col 

 pili felice successo all' analisi trascendente nell' integrazione 

 dell' equazioni differenziali, e metteva in evidenza il doppio 

 vantaggio che ne viene sopra il metodo ordinario d' integrar 

 per serie infinite, le considerate frazioni avendo termine ogni 

 volta che 1' integrale richiesto sia tìnito e razionale, ed otte- 

 nendosi per esse ancora l' integrazione in al(^ini casi più dif- 

 ficili, che sin qui non cedettero alla prova di verun altro 

 metodo. 



5. 2.. Frattanto, sebbene abbian li Geometri più distinti 

 con profondità di studi e d' indagini riconosciuta la natura e 

 sviluppate le utili applicazioni molteplici delle frazioni contì- 

 nue, nondimeno rimane un punto di vista e un aspetto, sotto 

 il quale, per quanto io sappia, esse non furon sin ora esami- 

 nate, ed e di considerarle in riguardo alle permutazioni degli 



