a-22, Di alcune troprietà ec. 



le lettere e due volte rispetto alla prima fi, intendendo che 

 il periodo si rinnovi costantemente coli' ordine dei denomina- 

 tori fi, b, e etc. della frazione primitiva, i quali restan poi 

 fra loro e a vicenda permutabili senza cangiamento dell' or- 

 dine stesso di successione: laonde (Z'j, a^, c^, etc.) e la per- 

 mutata della precedente rispetto ad a e, h. Ciò posto, e qua- 

 lunque sia il numero n dei denominatori nella frazion continua 

 (fi, b^ f, . . . . p^ q-, /■), si eseguiscano in essa tutte le 

 n{ii — \)[ti — a) . . . 3 . a permutazioni. Fra la data o primitiva, 

 le sue successive periodiche, e le frazioni permutate di quella 

 e di queste sussistono alcune relazioni, che sono perciò gene- 

 rali ; e primieramente si ha : 



( a. &, e, . . , r U ^'^ e r, ^7 ) ( f , ■ ■ ■ , r, g, ì ) {r, a,h, e, . . . , q) _ ^ 



(a,r,fl..,c,b)(ù,a,r, . . . ,c ){c,h,a,T,..,d} ( r, q, . . , e, b, a ) 



L'analoga relazione colle sue permutate sussiste per ciascuna 

 periodica finita della data frazione continua, e sarà per esempio : 



( aì,b^,Ci, ■■., Ta )( hi , Ci ..., r^ , a» )( e; , ■■., r^ , a^ , h^ ) ( ri,a:,,h^, ..., «y, ) _ ^ 



( aj , ri , ..., fi, ia )( l'i, ai, t^ ..., c^ )(C3, b^ , «i , r». ..(/») ( rs , ji ..., /'» , Ui ) 



È manifesto l' andamento, col quale procedono i successivi 

 fattori componenti li due termini di un tale rapporto := i ; e 

 questi fattori poi altro non sono che la primitiva frazione, o 

 una sua periodica finita, e alcune corrispondenti permutate 

 di quella o di questa, di numero a» — i in ogni rapporto. 



§. 4- La proprietà qui sopra indicata non è che parte di 

 altra più generale, quando gli elementi a, Z», e, etc. della con- 

 tinua siano più di tre. Avendosi /i>3, la frazion primitiva e 

 tutte le sue permutate semplici, o di due lettere sole ad ogni 

 permutazione, legansi fra loro in tante relazioni simili alla 

 precedente, ([uante può formarsene senza ripetere alcun fat- 

 tore, e il cui numero perciò è = (« — i)(n — a) . . . 3. Così per la 

 continua di (piattro termini, e per ognuna parimente delle 

 sue periodiche successive, sussiste una triplice relazione ed è 

 per la prima di esse ; 



