Del Prof. Giuseppe Bianchi aaS 



similmente la sua prima periodica (a^, Z», e) può rappresentarsi 



con I ?' 1, la seconda periodica { a^, b^, e ) con 1 „' /, h ^* 



terza con I ' 1; e così di mano In xnano, ritornando collo 

 [ «, e J ' 



stess' ordine le funzioni simmetriche rispetto agli stessi due 

 termini. Ora le funzioni simmetriche non cangiando valore 

 per la permutazione reciproca degli elementi, ne viene che 

 le sei permutate rispetto alla [a, b, e) e a ciascuna delle sue 

 periodiche hanno, ridotte a frazioni ordinarie, uguali due a 

 due tanto i numeratori che i denominatori; onde se ne ha 

 per ciascuna tre equazioni, che riduconsi ad una, ed è questa 

 la proprietà del 5- 3- nel caso di soli tre termini. La cosa va 

 un poco diversamente nella continua di quattro termini. Ri- 

 dotta la semplice [a^b^c^d) a frazione ordinaria, vediamo in 

 essa che il numeratore è funzione simmetrica ài b e d; laonde 

 nelle a4 permutazioni una metà di numeratori sarà eguale 

 all'altra. Ma il denominatore di quella non è funzione sim- 

 metrica, se non in parte, delle stesse b e d ovvero di a e e, 

 atteso il trinomio ab-t-ad-hcd. Tuttavia osservando che uno 

 dei prodotti binarj del trinomio, per esempio ed, si troverà 

 solo nella metà delle a4 permutazioni, e che le combinazioni 

 differenti di esso con altri due prodotti binarj nel trinomio 

 sixddetto riduconsi ancora alla metà, cioè a sei, ne conchiude- 

 remo facilmente che le 24 permutazioni avranno una metà 

 pure di denominatori eguale all' altra. Indichiamo la semplice 



{a,b,c,d) col simbolo i 7' / / 1 ' ^ troveremo che la 

 sua periodica prima ( «^ , b , e , d ) può similmente indi- 

 carsi con I ,' ', I . Così, ridotte a frazione ordinaria, 



le successive periodiche di { a, b, e, d ) offìono alter- 

 nativamente simmetrico il numeratore e il denominatore ; e 

 con ognuna di esse le rispettive permutate avranno soltanto 

 una metà di numeratori e denominatori differenti. Da ciò ne 

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