Del Prof. Giuseppe Bianchi 227 



«" _l_ ^" ^- j/" , oc'" -H /3"' -t- 7'", etc. è funzione simmetrica degli 

 elementi a, Z», e, e quindi invariabile alle permutazioni de' me- 

 desimi. In riguardo poi alle periodiche eccettuate dalla for- 

 mola precedente si ha: :■,. <,-■ 



( a, b, e) ( fli , J, e ) X—O ( gj , ^2 , Ca ) ( fl3 , Z^a , Ca ) ^_^ 



(a,c,b) (a3.,c,b) n—b' ( fla , Ca , ia ) {ai, Ca, ,bi) a"' 



E finalmente se consideriamo le diffei-enz& a — /5, a — y^ ^ — y 

 tosto vediamo che sono esse proporzionali rispettivamente alle 

 ^ — e, a — e, a — b, ovvero alle loro eguali per ordine successivo 

 {7t—c)—{7z—b), (ji—c)—{7t—a), {7T—b)—{ji—a). Svolgendo le 

 a\ /3', / ne avremo le differenze a' — (ì'=7i{a — b) ; a — 7 =7r{a — e) ; 

 /?' — y^]T{b — c); e queste perciò stanno pure come le diffe- 

 renze primitive a — b^ a — e, b — e. In simil modo svolgendo 

 le a", ^", y" si ottiene 



a" — §"z=.n(c—b); a" — y" z=n { a—b) ; §" — y" = x { a—c) ; onde 

 o." — §" = y' — ^'; a" — y" = a'-§' ; §" — y" z=. a' - y' . 



Parimenti le a"—^"\ a" — /", /5"'— 7'" emergono rispettivamente 

 proporzionali alle differenze a — ^, a — e, b — e; e così di se- 

 guito. Concludiamo da ciò che i rapporti delle frazioni, con- 

 tinua e sue periodiche, a tre termini permutati, conservano 

 semplici e determinate relazioni colle differenze de' loro ele- 

 menti «, Z», e. Analoghe proprietà possono riscontrarsi nelle 

 permutazioni della continua ( a, Z», e, ^Z ) e delle sue periodiche; 

 e in generale si comprende che di proprietà simili, relativa- 

 mente alle permutazioni de' termini, deve pur essere dotata 

 colle sue periodiche la frazione continua (a, Z», e, . . . .p^ q^ r). 

 5. 9. Limitandomi per ora a questi cenni che ho presen- 

 tati intorno alle più semplici frazioni continue e periodiche 

 in genere, passo ad esporre una proprietà particolare delle 

 frazioni continue, in cui si svolgono i numeri irrazionali di 2," 

 grado ; proprietà che ignoro se sia stata per altri avvertita. 

 Non solamente le dette frazioni sono di necessità periodiche, 

 siccome dissi aver Lagrange dimostrato; ma di più ridotte 

 insieme colla parte intera e successivamente a frazioni ordi- 

 narie, esse porgono per ciascun numero irrazionale lina serie 



