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essendo '^~' J '^"*"' l'altra espressione dei numeri triangolari 



allorché per r, invece dei numeri pari 4-> *J ctc., si pigliano 

 i dispari 5, 7, ctc. Ed ecco espresso anche per r dispari il 



termine irenerale richiesto ^^-^=^ . 



5. i3. Sia domandato in esempio il termine sesto delie 

 approssimazioni al valore di \/ ii. Posto r=b; fl=ij b = ^^ 

 gli sviluppi di flr, e di «I del §. prec. nel caso di r pari por- 



iieranno — = 7^ — ~—yi — ~ = -7- ; valore clie, aggmnto 



alia parte intera di |/ 'ó cioè a 2, diviene =: ^, ed è l'ap- 



prossimazion ricercata e tale che il suo cpiadrato differisce in 

 meno da 8 poco più di o, 0000 1 5. Vogliasi ora 1' approssima- 

 zione settima dello stesso radicale. Fatto /■=7; a=i; l> = 4-> 

 avremo dagli sviluppi del 5- piec. nel caso di r dispari .... 



— =z 73 — ^--h. 7 — 7 = — -'■, e airgumto 2, ne ricaviamo -— 



df, 4^ -t- 6 . 4 -+- IO . 4 -t- 4 204' Co 204 



per l'approssimazione richiesta, e il cui quadrato differisce in 

 più da 8 solamente di o, occoo3. Gli ottenuti due termini 

 ])OSSono verificarsi, riducendo immediatamente a frazione or- 

 dinaria la periodica esprimente 1/8 e riportata di sopra nel §. 9. 

 Del resto i termini della serie — , — , etc. non sono al- 



tro che le successive frazioni continue e periodiche, ma par- 

 ziali ossia finite, a due soli elementi; e perciò in rpielli sus- 

 sistono le proprietà che in queste aljbiam dapprima rilevate 

 dipendentemente dalle permutazioni di a e b. Quello però 

 che vuoisi rimarcare soprattutto si è che in un termine f[ua- 



lunque -^^ della serie, se r è pari, il numerator è funzione 



alterna, rispetto ad a e h^ col denominatore rt,—^, e il deno- 

 minatore r/,_i è funzion simmetrica degli stessi elementi e, h : 



che se r invece sia dispari, il numeratore b, , è la funzione 



simmetrica, e il denominatore «,_, è funzione alterna con b,. 

 §. 14. Veniamo alla periodica infinita ( «, b^ e )^ e met- 

 tiamone la serie delle approssimazioni successive al solito in- 

 dicata con 



