ORIGINE ARITMETICA 



DELLE SERIE INFINITE PIÙ ELEMENTARI 

 E DEL BINOMIO NEWTONIANO 



MlMOl'tó 



DEL SOCIO PROFESSOR GIUSEPPE BIANCHI 

 Ricevuta il i6 Novembre i844- 



5- ^' Intendendo per serie infinita una quantità svilup- 

 pata in una successione di altre, che diconsi termini, senza 

 fine, il primo caso di un simile svolgimento che la scienza 

 del calcolo ne porge, ossia la prima serie infinita nasce spon- 

 tanea dalla divisione aritmetica nella riduzione di un rotto 

 comune a frazion decimale, che risulti periodica. Ad esempio 

 la frazione i convertita nella Hecimale o, 333 ... è una serie 

 infinita. Come però tali serie aritmetiche sono particolari cor- 

 rispondentemente alla frazione da cui nascono, così non par- 

 lasi comunemente di esse dai matematici se, non dopo la di- 

 visione algebraica, uscendone allora la prima serie genei'ale 



I — a-t-fl'' — a^-+- etc, dallo svolgimento per divisione di -^. 

 Eppure non è questa la più semplice quantità che per divi- 

 sione si svolga in una serie generale, bensì la frazione -, e a 



ridurvela non si richiede che di effettuare la divisione aritme- 

 tica. Da essa poi derivano con facilità tutte le altre serie 

 elementari che alla divisione si riferiscono, fino ad ottenerne 

 Io sviluppo della potenza intera e positiva del binomio; né 

 occorre per ciò alcun uso né cognizione della divisione alge- 

 braica. Quindi è mio scopo nella presente INIemoria di richia- 

 mare la teorica elementare delle serie infinite alla sua imme- 

 diata sorgente, che è riposta nella natura stessa della istitu- 



