24c Origine arit_metica delle serie ec. 



zinne aritmetica, ossia nel sistema qualunque sia della nume- 

 razione. Oltre il vantaggio di prender la cosa dal più semplice 

 e naturale principio, quelli pure se ne avrà, e di qualche 

 serie non considerata o sfuggita nelle comuni trattazioni dell' 

 Algebra, e di aprire ed esercitare la mente fino dalle nozioni 

 ed operazioni prime del calcolo all' evidenza e al rigore più 

 esatto del raziocinio, ponendo attenzione ai residui e alla con- 

 vergenza o divergenza delle serie, e infine di render più age- 

 vole e familiare il passaggio del calcolo speciale de' numeri 

 al generico delle lettere. Neil' analisi matematica le serie a 

 me sembrano costituire una specie di anello che congiunge 

 una parte di quella coli' altra ; e cosi le serie numeriche 

 espresse generalmente offrono il legame dell' aritmetica parti- 

 colare coli' algebra, come lo sviluppo generale del binomio di 

 Newton serve quasi di passaggio a quelli delle quantità e 

 funzioni trascendenti, e come la serie o il teorema di Taylor 

 dall' introduzione al calcolo sublime apre l' ingresso a quest' 

 ultimo, allo spirito cioè e ai metodi del calcolo differenziale 

 e integrale, che è la parte somma dell'analisi. Benché poi sia 

 tutto piano ed elementare l' oggetto che io qui mi propongo, 

 non credo che lo si vorrà perciò dispregiare, dopo che Eulero 

 al pi'oposito delle serie medesime ottenute per la divisione 

 algebraica lasciò scritto ( Alg. T. I. pag. aSg. ) « Aussi a-t-on 

 tire de ce foìids les iiiventlons les plus importaiites , et cette 

 matiére inerite d' autant plus qu" oii V etudìe uvee tonte V at- 

 tentìon possìhle. » 



§. 2. Considero di tutte le frazioni decimali periodiche 

 la semplicissima e, i 1 1 1 1 . . . . all' infinito, che nasce dalla or- 

 dinarla i. Se un altro qualunque numero intero a sia risguar- 

 dato come il maggiore de' numeri semplici, o di una sola cifra, 

 per un sistema di numerazione dlflerente dal decadico, ne 



risulterà del nari la frazione - = o, 1 1 ii i all'infinito; 



u 



ma In questo caso 11 valor di classe o di posto per ogni numero 

 semplice non procederà di dieci in dieci, sebbene di a -+- i 



