2.^2. Origine ahitjietica delle serie ec. 



I 



— ^^ a ^^ — 1 ^^ . . . . -T- ; T—, • ■ 



Vi — i m m m' (m — i)m ^ 



Fatto quindi ?n = - , e divisa l'equazione per a, ne risulta: 



(a) -^ 3=n-fl-t-fl^-Hfl^-t- -+- — 



V / I — a 1- 



e cangiato a lu — a : 



.«3 



(3) — ^ = I — fl-f-«^ — ( 



Le (ìl), (3) sono le due note serie somministrate dalla divi- 

 siono algcbraica e che servon di londamento alle altre. Ci 

 siamo arrestati in ciascuna col residuo al termine r*^ ""°, e nella 

 (3) il segno -)- di tal termine corrisponde ad r dispari, il — 

 ad /■ pari. 



Come dalla (i) abbiam ottenuto le (a), (3), cosi dalla (2) 

 inversamente ricavasi la (i). Imperocché presa la 



= I -+- /;z -H «2^ -+- ?n* -*-....-+- • , 



I — m 1 — !n 



e fatto in essa jìi = , si ha : 



i-f-a 

 I i-na I I T I I 



e (I 

 I 



uindi 



ove l'ultimo termine dello sviluppo, stante 1' om missione del 

 primo, è divenuto T /■ — i "'"•">. Similmente avendosi per la (3) 



. m'-' 



I — m-h m' — W -4- =t •— - , 



I , „, , ,„2 „,3 



e tatto in questa in = - ., si ottiene dividendo l'equazione per a: 



I I 



(4) ,7:;rr - « ~ <1^ "^ a* a* ""■"■■ ~ "a— ("-hi) 

 Alle quali serie fondamentali aggiungiamo pur quella, che 

 viene tosto dalla (i), cioè 



,-. I I I I 



(5) =—-»-—;- 



3 "^ (a— i)a'-' 



