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Di ffueste (/i) la prima serie, o la fondamentale, è sempre 

 convergente^ sono la 2,''. e la 5^. convergenti per a intero, e 

 divergenti per a l'razionario ; all' opposto la .l*. e la 4"'- sono 

 convergenti per a iVazionario, e divergenti per a numero in- 

 tero. Quindi la prima, oltre il pregio della origin più semplice, 

 ha pur ([nello sopra le altre di approssimarsi per ogni valore 

 di a colla somma finita de' suoi termini alla quantità da cui 

 si svolge. E cpii rillettiamo che le precedenti eguaglianze (J) 

 sussiston del pari esattamente in generale, ossia per a inde- 

 terminato, e tanto se gli sviluppi si considerino all' infinito 

 quanto se, limitata la serie, tengasi conto del residuo. Ma in 

 riguai'do ai valori speciali e determinati di a., ossia in parti- 

 colare, esse non trovansi verificate tutte né sempre, se non 

 a serie finita e a residuo calcolato. Imperocché pei valori di 

 fl, che rendono una delle dette serie divergente, la serie stessa 

 pili che prolungasi, anziché uguagliarsi alla frazione da cui 

 nasce, maggiormente all' opposto se ne allontana, e quindi la 

 divisione che la fo nascere sarebhe viziata in radice e col 

 progresso accumulerebbe l'errore all'infinito, qualora non si 

 avesse in considerazione, al di là pure dell' infinita operazione, 

 il residuo. Ciò si vede cliiaro nella 4"- delle (J), ove pongasi 

 a = a; poiché dallo sviluppo all'infinito, e senza il residuo, 

 se ne ha — i=-hco. Al qual proposito panni non giusta la 

 ragione addotta da Eulero (Alg. T. I. pag. aa8. ) che protraen- 

 dosi la divisione all'infinito, la questione più non si riferisce 



