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alla frazione primitiva. E neppur giusta, comecché spiritosa, 

 direi r altra spiegazione dell' Eulero medesimo al caso della 

 serie 3*. (A)., ove facciasi a=i, risultandone all' infinito 

 i=i — 1-4-1 — 1-+- ; perocché dal non arrestarsi la se- 

 rie , e dall' esserne la somma de' termini alternativamente 

 -H I e o, non viene legittima o provata la conseguenza che 

 il vero valore starà nel mezzo di questi limiti costanti d' er- 

 rore; costanza di limiti che d'altronde definisce in genere le 

 serie parallele. Quello che a mio avviso giustifica e 1' opera- 

 zione, considerata pure all' infinito, e l'eguaglianza dello svi- 

 Uippo alla frazion primitiva, è sempre il riflesso al residuo, 

 che nelle serie convergenti protratte all' infinito risulta nullo, 

 è costante, né perciò trascurabile, nelle parallele, e cresce 

 nelle divergenti continuamente di valore coli' operazione dello 

 sviluppo. 



§. 7. Dal confronto della seconda [yl) colla quarta viene 

 di conseguenza 



(B) ....--- H 5 — etc. ± 



a u'' ' a^ (a-t-i) a'— '-a 



, a'~' . . , . _ 



:=i — a-i-a^ — a' -+- etc. ± , • ' 



a-l-i 



curiosa proprietà generale de' numeri, che sembra eguagliare 

 le potenze di un rotto a quelle del suo intero denominatore. 

 Il paradosso appare anche più manifesto, se 1' una e 1' altra 

 serie della {B) si consideri all' infinito, poiché in tal caso una 

 serie infinita convergente eguaglierebbe una divergente, sia 

 a numero intero ó frazionario, e comecché siano le due serie 

 diseguali fino dal primo termine. Ma cessa qualunque mara- 

 viglia e apparente assurdità, ponendo attenzione ai residui, 

 e per essi 1' eguaglianza delle due serie, anche all' infinito , 

 sussiste rigorosamente. Facciasi in esempio « = a, e si avrà 



L _ i. H- 4-— .... all'inf. =i_a-H4 — 8-1- all' inf. 



Dopo un qualunque numero di termini^ s' introducano i resti, 

 e per esempio dopo tre termini da una. parte e quattro dall' 

 altra si avrà i'ab ijuniq rd omelboiu 



