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Del PfiOF. Giuseppe Bianchi 



I h" h' }>'■ h'-' 



a a-t-i (a-t-ij^ (a-+-i)' '* (o-t-i)'— 'a 



I _ (?'-Hl)° __ (t-t-1)' _^ (t-(-l)' _ _^ (i-f-l)'-' j 



a+i ~ a— i (a—ly" (a— i)' ~ (a— i)'— ' (a-t-i) 



T _ (a—by _ (a— ;.)■ (g— ;» )' _ _^ (a_;,)'-' "^ 



j-i-o ~ h-\-i (i-t-if "^ (i-t-i)' ~(ÌM-i)'-'(i-t-a) 



I _ ( a+^-)° (a-^-hy (flH-Jf (a-t-t)---' '" 



i_a — i-Hi "*" (J-(-if "^ (4^-1)3"*" "•"(i-t-i)'— (I— a) 



Queste serie (F) altro non sono che le prime quattro [A), da 

 cui esse derivano mediante le [E), ma, in cei'ta guisa genera- 

 lizzate da quelle, a motivo die includono un altro qualunque 

 numero b e ne mostrano la relazione con a. Tutte poi discen- 

 dono dalla sola prima delle [A)-, e aritmeticamente dalla 



o, II 1 1 1 nel sistema generale della numerazione intera. 



Possiamo dare alle (F) anche quest'altra forma: " "" ' 



{a-^b) '-' = a{ {a-i-b) '-' -t- b{a-hb) '-^ '< '^'^) ■ ; 

 ■+- b''{a-\-b) ---4 -4-r ] -f- b'-' 



(a—b) ^— = (a-H I ) [ {a—b) ^-' — {b-i- 1) {a—b) '-' 



\ {b-^i)^-' = {i^a)[(b-^i)^-- — {a—b){b-hi)^-' ì 



■+- [a—bf (^H-i) '-"y— ] ± [a—b) '-' ■^—^ 



(Z,^_ I ) r_i _ ( I _^) [[b-^i) '-- -4- {a-^b) (Z'-H I ) ^-^ " 

 H- [a-^hy {h-^i)'--^ -+. ] -H [a-^b)'-' 



Abbiamo già nella prima e seconda [G) il più naturale svi- 

 luppo della potenza positiva ed intera di a-\-b e di a b 



secondo le potenze discendenti e intere del rispettivo binomio. 

 E cosi pure dalla 3^. e 4^. (G), eguagliando i due valori di 

 (è-Hi) '^— ', ricaviamo una relazione o proprietà singolare fra 

 la serie delle potenze intere di a-^-b e quelle delle potenze 

 simili di a — b . 



5- i4- Per altri due numeri m, u trattiamo la 4*. delle 

 (F), che diviene ; j;,j,;j 



