a-Si Origine aritmetica delle serie ce. 



I (m-t-ri)" (^m-i-nY (nt-t-n)^ (m-i-n)'—' 



111 essa poniamo ^^^^ in luoiro-dì- ?«« e poiché i — ^^^' = - , 



i- - III o -^:, -.!-'> 1 - Ili ni 



si avrà , , „- ■ - 1 ' , ■. 



(«4-1 I ("-*-! 1 |n+i ) ( n-t-i 1 



m =1 \ m/ •+■ \ m / ■+■ \ m / -t-....-t-w. \ »i/ , 



«-+-1 -: (n-Hi)" ■ - (ìt-i-i)^ - -' :- (fj-4-1)'— ' 



l'ultimo termine rappresentando sempre il residno completo 

 della divisione aritiiietica dopo il fermine r — i """o elei (jno- 

 ziente, o della serie. Formando colF etfettiva moltiplicazione 



le crescenti potenze di 7z-+-i — -, presa come binomio di 

 li-i-i e di - , e avuto riguardo al numero /• dei termini nel 



■ m ° 



precedente' sviluppo di m, facilmente si trova 



ITT\ _/ ^ ' (r— i)(r— 2) I 



(//) _. ^ v_, . . m = (r_i) . _ ~ . -^-^^ 



equazione identica fra li due numeri f[ualunque /?2 ed n. Qui 

 la serie necessariamente finisce, ove incontrasi nel coefficiente 

 r r-., ma se r, ossia il numero de' termini prefisso e conside- 

 rato, sia grandissimo, la serie stessa può risguardarsi protratta 

 air indefinito. 



Supponiam in esempio di arrestarci al 4"- termine della 

 divisione; ossia fatto 7-=5, prendiamo 7;z=7, ii=i ed avremo 



A g 4 I 27* 6i4656 7 . 8^808 



7=7— ^7^ "*" yi . 43" "" 73T4? "^ 75 .44 ~ 87808 ~" 87008 ■ 



In questo esempio, come in quello del $. 12., osserviamo 

 che la rispettiva serie, quantunque convergente, non avvici- 

 nasi con pochi termini al suo valor esatto, se non tengasi 

 conto del residuo; il che avvien sempre quando, come in 

 questi esenqii, il primo termine risulta piccolo e il residuo 

 piuttosto grande. Quindi a valersi utilmente delle serie infinite 



