. ■ Del Pjiof. Giuseppe Bianchi ' 2.53 



per approssimazione, trascurandone cioè il residuo, è duopo 

 innanzi riconoscere e stabilire in quelle il grado della con- 



vergenza. 



5- i5- Moltiplichiamo l'efjuazionc (//) per («-f-i)'— ■ e di- 

 vidiamola per m : ne viene 



, . ,, , , ,(«-4-0'-=' (r— i)(r— 2)(«-Hi)'-5 / I V-" 



Fatto quivi fi-{-i=a; - = l/; r — i:=:c, si ha: '-)-») 



a a . a ^ ' 



ossia 



J'IIS -UJ) 



(/)•. . . (n^l) ''z=a'-i.ca'-'b-^ ^J^^ a "-' l' -t- " ^''~ ' ' j^''~^^ a "-3 i' -i- .... 



che è lo sviluppo del binomio newtoniano, il quale perciò esso ' 

 pure scaturisce dai principi ^ dalle serie aritmetiche sovra- 

 esposte. Riflettiamo di qui che la potenza e del binomio rap- 

 presenta il residuo della divisione aritmetica effettuata nella 



frazione — -, dipendentemente dalla periodica infinita -; il 



primo termine a" dello sviluppo rappresentando la frazione 



medesima — - , e gli altri termini costituendo il quoziente di 



tale frazione svolto in serie all' indefinito. Però è da notare 

 che il grado e della potenza è nel nostro caso lui numero 

 intero e positivo necessariamente, indicando esso il numero 



qualsivoglia dei termini della serie in cui è svolta la — ^ . 



Quindi per la semplice divisione aritmetica lo sviluppo del 

 binomio non sarebbe propriamente generale, né sarebbe di- 

 mostrato sussistere anche per le potenze frazionarie e neo^a- 

 tive, e solo procederebbe all'infinito supponendo c^^cc. Ma 

 quivi appunto piacerebbemi di ravvisare il confine segnato 

 dall'analisi al passaggio dall'aritmetica jiarticolare alla gene- 

 rale, non in quanto ai segni dei numeri e delle operazioni , 

 bensì in riguardo allo spirito de' principi e de' ragionamenti. 



