•2.5^ Origine aritmetica delle serie ec. 



5. 16. Ili altro modo e più diretto può ricavarsi lo svi- 

 luppo del binomio newtoniano; ed anzi esso deriva^ immedia- 

 tamente per successive sostituzioni ma con ordine inverso di 



termini^ dalla nostra serie fondamentale - rappresentata nella 



prima delle (G) ossia delle [F). Consideriamo infatti gli svol- 

 gimenti successivi che dal primo discendono e sussiston con esso: 



(a-f-i) '-■ = a [ (a-^h) '-=■ -H h (a-^h) '-' -1- i^* {a-^-b) '-^ ^ ] ^ i '-' 



(a-t-b) '-^ = a [ (a^b) '-^ ■+■ b (a-i-b) '-4 -h J» (a-i-b) ■■-= -f. ] -+- i '-» 



(a-^-b)'-^ =. a[{a-i-b)'-^ -t- b (a^b)'-^ -t- b^ (a-^by-6 ^ ]-4- J'-' 



(a-t-by-'i = a[ia-^by-^ ^ b (an-by-^ -H i^(aH-t)'-7 -t- ] -t- J'-4 



etc. 



Fatte nel primo sviluppo le sostituzioni dei seguenti si ha : 



(rtH-7')'-' zra" [ (a-^b)'-^ -t- b (a-^-b)'-^ -t- b^ (a-t-by-'^ ^ ]^ ab'-"" ^b'-' 



-t- a'b [ (a+i) '-4 -4- b (a-4-J) '-^ ■+■ i^ (a-i-h) '-<^ -t- ] -t- ab '-'^ 



■+■ aH'' [ (<2+i) '-5 -I- b (a+i) '-6 -H t^ (a^_i) '-7 .<_ ] -f- ai ■•-» 



-t- etc. 



E siccome nel primo sviluppo di [a-^hy~^ il numero de' ter- 

 mini moltiplicati per a è r — i, così raccogliendo i termini si- 

 mili del secondo membro nell'ultima equazione si avrà: 



(oH-t) '- ' = a= [ (a+b) '-3 -H 2i {a^b) '-+ 

 ^ 3/-^((7-<-J)'-5 + ]^.(r— i)aJ'-^-f. J'-'. 



Proseguendo le sostituzioni ed osservando che il numero de' 

 termini è ridotto nel secondo sviluppo ad r — i2, si vedrà che 

 il coefficiente di a^ b'—^ , ossia del termine terz' ultimo , è 



O • T ('■ — 0('' 2) 



= i-+-2-t-o-H -\- ì- — -2 e qumdi = ; e jioscia, 



colle simili operazioni e avvertenze, che quello del termine 

 quart' ultimo è '"~ '"~° ^ ^ , e cosi di seguito. Posto dunque 

 /• — i=c, abbiamo 



(a^b)' = ^ cic-i)(c-2) ^3j.-3_^ "IflZlla^'b'-'^cab'—^b', 



e già per la simmetria dei termini equidistanti dal mezzo 

 dello sviluppo è inditierente che sia riconosciuta e dimostrata 

 la prima o la seconda metà del medesimo. 



