Note del Prof. G. Mainardi 3 1 7 



e si annulla ancora quando m è dispari. Se poi A, k sono 

 dispari entrambi il valore di detto terzo termine si annulla 

 siano ra, n dispari o pari in qualsivoglia maniera. Concludiamo 

 da tutto ciò che il terzo termine della funzione P {a,b) sussiste 

 unicamente nel caso in cui A, k sono entrambi pari, e si riduce a 



4-h4(« — i)-i-4{fn — i)-h4(« — i){n — i)=4mn 

 onde si avrà 



P{a,h),= fl /^ <p{u,t)dudt+^ fi /^ dudt>p(u,t) 2~ ( co. 2JÌ+ cos ^^' ) 

 ^^f /'du.dt.<p{u,t)^'=°I.'=°cos^-^cos^J^. 



Integrando per parti i termini secondo e terzo, e notando 

 essere 



siila . zJTth / 



sen — ^ sen min =: o, sen -~ =: sen njìtm = ".. 



otteniamo per ultimo la formola .;, 



P(<2,i) = /"/„?> («,0 da dt-^^ ( £ y /* j <i.^ ^ (u, _ J^„ ^ („, <) j Ja 2 ^ 

 ■ ■■'■ '^^{tJ C \d^^'P-d.^of\dt.^L 



ove dt^za <p {u-,i) indica il valore del coefficiente differenziale 



-i corrispondente a t=a, ecc _ 



Dunque la funzione P{a,b) offre un valore approssimato 

 dell' integrale /" /^ (p {u,t) du.dt, e potremo calcolarne altri 

 valori ancora più prossimi collocando in quella formola in luogo 

 degli integrali semplici le loro espressioni date dalla formola 



