3:iO Su LA Integrazione approssimata ec. 



Il Sig. Gauss osserva che i numeri arbitrar] a„,a,^a^,...a,,^,^ 

 si possono determinare talmente che spariscano tanti termini 

 dal secondo membro della equazione (a) quanti sono (jiiei nu- 

 meri, e ciò col fare che sia 



^i=n a^ r E(t) t_ ^^ 



izz.0 h' (a,) ' o t — «i r-f-i 



per tutti i valori di ;-=/z-t-i, 7i-(-a, . . . . a«. 



Supponiamo E{t) = r-*-' -+-/?. r -!-/?, t"-' -h/?,/-!-/?,,^.,, 



e moltiplicato il primo membro della equazione (Z/) per -^ y 



se ne iaccia la somma da 7-=:o ad r=co. Avremo • 



^ i=:n E (a) I E(t) ^r=:co a,' _ y^^oo E (u) _ 

 i-=.o E\a,) ^o t^a, "r^o u'-^^ rzzo (r-t-i)u'-^' 



_ 2 i=n E(u) T Ejt) ^^^ _ ^r=ra E (a) 



izzo (u — ai)E'(a,) ■' o t — «. " rzzo (r-i-i)M'-^' 



Affinchè la equazione (b) abbia luogo per tutti i valori 



di /•=:o, I, a, 3 fino a a/i, bisogna che nello sviluppo 



della l'unzione (e) ordinato secondo le potenze decrescenti di 

 u spariscano tutti i termini moltiplicati per 



I 





ma le potenze negative di z/, derivano unicamente dal secondo 

 termine della funzione [e) per cui dovrà essere 



2i. ■ — : ^ O 



i^o n-t-r — i-i-i 



per tutti i valori r=i, a, 3 .... h. 



Considero due di queste equazioni prossime consecutive, 

 le quali siano 



i^^ + ^■. ^ -^-^ = 



r ri-t-r — i-i-i n-^-r-^-t 



^-^^ ^-A— ^ -._L-:.o, 



r-t- 1 n-(-r— J-H2 n-f-r-4-2 



vi elimino /?„-h, , e soppresso nella risultante il fattore *_ 

 comune a tutti i suoi termini, si ottiene 



■" inno {n+r — i+ì)(ii-t-r — i-t-a) 



