Note del Prof. G. Mainardi 3a3 



Di qui caviamo intanto il valore .deH' integrale definito 

 scritto nel secondo membro, il quale appartiene ad una classe 

 di formole studiate da Eulero, Legendre ed Abel. 

 Fatto «=i abbiamo 



■' o ^ 2,' ■' o (af<-+-2) . . .{in-.-r-t-D) 



X p'^ cos ìP^"-^"" . dip ; 

 quindi la formola notabile ' - 



V / .\i '•('• —')■ -.(r— i-t-i ) (n-t-i)?i. ..(n— i-Hi) (n -*-!)n. . .(n— r-t-g) 



^ ' i.2,...i (an-(-2) . . . (a;j — i-t-i) (2.n-¥-2.) . . . (un — r-4-3) ' 



poi E(t-i-l)= 2'^"-^' (n-H.)'»'. (.-r^gf ^,._,^, 



r \ / rzzo I . a . . r(an-i-2) . . . (ara — r-t-i) 



E{t) = {-iY^'E{i-t); 



epperò ad ogni radice della equazione E{t)=:o un'altra vi 

 corrisponde la somma delle quali eguaglia l'unità. 



Dunque se n è dispari,, quella equazione è soddisfatta da 

 i=i per cui 



j,'— n-+-i , ,i (»-t-i)' fz°(?z— if ■ . ■ (n—ì-^^^Y t_ _ ^ 



!:=! I . a. . . j(2n-f-2)(2n-t-i). . . (i« — i-t-3) a"—'-!-' 



La equazione E{t-\-^) = o avrà le radici due a due eguali 

 e di segni opposti: e siccome fatto u = ^ dalla formola (g) 

 caviamo 



JV, P" cos (^"'+" . dtp = ^^~!^' r^ ( ' -l-(— I )' ) cos ^='»-'--*-" . sen f.df ; 



quindi se r è dispari Nr = c, se rè pari 



T 



Nr f'^ COS ^'"+^ . dip = ^^^ f^^ COS ^="— '+=> .senip' .d(p 



T 



( — r)* I . 3 . 5 . . . (r — i) Ak .„„ ,., ,, 



:= * '— ^ . — /^ cos qi^"-'-*-' . d<p. 



Essendo poi 



Ajt . ^ ^ , 1.3.5. ..(an-t-i) JT 



■^ o ' ' 2 .4. 6. . . (an-(-2) 2 



,it , I .3. . .(2« — r-t-i) n 



■^o *^ ' 3.4. ..(2n— r-t-a) "^ 



