244 Karl Matter. 



sein und die Teil])arkeit durch m, gehen nicht verloren, wenn man 

 die angegebene Modifikation vornimmt. Und da es bei diesen 

 Untersuchungen im wesentlichen nur auf diese beiden Eigenschaften 

 ankommt, so darf man der Bequemlichkeit halber direkt die Dant- 

 scher'schen Formeln benutzen. 



An dieser Stelle soll für die Funktion ^^(^on) eine Eigen- 

 schaft nachgewiesen werden, die später von Bedeutung sein wird. 



Setzt man abkürzend p u = x und substituiert man x = — ^, 

 so nimmt W die Gestalt an 



W = 



X 



^zrbn-i-b.x"^ \-b,x"'-^ \-hf^-l■x' •= -f (— 1) « ■ x -' |. 



X --= befriedigt die Differentialgleichung 



d X 



(^)=*-'-^^"- (13) 



die, nochmals differenziert, übergeht in 



d^ x 



du'' 



= 2—^x\ (13') 



Die Entwicklung von x nach Potenzen von u kann in die 

 Form gebracht werden 



, o u^ m'* «*"" + - 



Nach einem Satz im ersten Paragraphen der Hurwitz'schen 

 Arbeit*), den ich hier eitleren will: 



„Es sei (p («) eine analytische Funktion, welche an der Stelle 

 n = regulär ist und einer Differentialgleichung der Gestalt 



q>^''\ti) = G[_cp{u\cp'{H\ g^'-'-'X«)] 



genügt. Dabei soll G eine ganze rationale Funktion der einge- 

 klammerten Argumente bedeuten mit Koeffizienten, welche ganz- 

 zahlige Reihen sind. Wenn dann 



^(0),«3P'(0) ¥"-\^) 



ganze Zahlen sind, so ist die Entwicklung von (p{iC) nach Potenzen 

 von II eine ganzzahlige Reihe." 



ist x eine ganzzahlige Reihe. Denn die Differentialgleichung (13') 

 hat die geforderte Gestalt. 



^) A. Hurwitz, 1. c. § 1. 



