Den BeinouUisclien Zahlen analoj/e Zahlen. 247 



zudem eine Einheitsreihe ist. Folglich ist F())iti) selber wieder 

 eine ganzzahlige Reihe ^). Man hat daher das Resultat gewonnen: 

 Bezeichnet )n eine ungerade, durch 1 — q nicht teil- 

 bare, primäre komplexe ganze Zahl von der Form a-^rbQ, 

 so ist 



(22) |.(2mr--(m--l)^ =(?„„,. 



eine ganze Zahl. 



Nach (15) ist für den Fall m = q, unter q eine eingliedrige 

 (^reelle) Primzahl der Form 6 Ä; + 5 verstanden, der Nenner von 

 F(?0 in der Darstellung (20) eine durch m^ teilbare, ganzzahlige 

 Reihe. 



Aus der Bildungsweise der Koeffizienten des Zählers von F{h) 

 in (20) erkennt man ohne weiteres, dass sämtliche Koeffizienten 

 (»r6v — dl) mit Ausnahme des letzten (w^+1) kongruent Null 

 (mod. m-) sind. Aber auch das letzte Glied {m^ -i-l) - x^~- ist 

 durch m'^ teilbar, weil ,^ _ ca , eine ganzzahlige Potenzreihe ist und 

 (ß — 2)! = (m^ — 2)! den Faktor m mindestens zwei Mal enthält. 



Daher ist im Falle m = q bereits F (u) eine ganzzahlige 

 Reihe und es gilt somit der Satz : 



Bezeichnet q eine reelle Primzahl von der Form 

 iJk-\- 5, so ist 



(23) 2^"-(q^"~l)--f^=^H„„ 

 eine ganze Zahl, 



Aus diesem letzten Ergebnis lässt sich sofort erschliessen, 

 dass der Nenner N„ von F,, eine Primzahl q der Form 6 A- -|- 5 

 nicht als Faktor enthalten kann. 



Denn aus der Gleichung (23) ergiebt sich 



F„ 



3 n • Hq, 



|fi»-i.(q«"_]) 



2"""'-((/" — 1) ist also jedenfalls ein Vielfaches von xY„ und 

 da dieses Vielfache inkongruent Null (mod. q) ist, so kann auch 

 iV„ unmöglich durch q teilbar sein. 



Der Nenner von F^ kann also abgesehen von den Primzahlen 

 2 und 3, für welche eine besondere Untersuchung getroifen wer- 

 den muss, nur Primzahlen der Form O/j-l- 1 als Faktoren enthalten. 



') A. Hurwitz, I. c. i? 1. 



Vierteljahrssehrift <I. Naturf. Ges. Zürich. Jahrg. XLV. 3 900. 



