248 Karl Matter. 



Nimmt man an, 2> sei eine solche Primzahl von der Form 

 6Ä:-!-l, die in N„ aufgeht, so soll ^j° die höchste Potenz von j^ 

 sein, durch die N„, teilbar sei, sodass a>l. Ferner sei pf^ die 

 höchste Potenz von 2h <lie in )i enthalten ist, wobei /3 > 0. Die 

 Gleichung (22) verwandelt sich so in die Kongruenz 



2 • (2 mT"-'- {m'" — 1) ■ Z„= ^n • N^- (?,„,„ (24) 



= (mod. p« + ^) 



In dieser Kongruenz wähle ich jetzt für m eine ungerade 

 Primitivwurzel (mod. j/^ + ^), d. h. eine solche ungerade (reelle) ganze 

 Zahl, für welche keine niedrigere Potenz als die mit dem Ex- 

 ponenten 



kongruent 1 (mod. jj" + ^) ist. Bei solcher Wahl von in sind die 

 Faktoren 2 und (2*w)®"~" durch j9 nicht teilbar. Ebensowenig ist 

 es Z,,. weil Z^ und iV„ teilerfremd sein sollen. Daher muss not- 

 wendig die Kongruenz bestehen 



m"'—l = (mod. p"" + ") (25) 



Da aber nach der getroffenen Wahl von m die Kongruenz 



«i^ = 1 (mod. p"" + f^) 



keine kleinere Lösung haben soll als 



X =■ 2)"- + ^-'^{p — 1), 



so folgt aus (25) die Relation 



6n = M-p'' + ''-^{l) — l), (26) 



unter M eine ganze Zahl verstanden. Die höchste Potenz von p), 

 die in 6 n aufgeht, ist aber j/. Daher muss o: = 1 werden. Die 

 Gleichung (26) lehrt zudem auch noch, dass 6 )i durch p — 1 teil- 

 bar sein muss. 



Zum Schlüsse dieses Paragraphen sollen die eben entwickel- 

 ten Resultate in einen Satz zusammengefasst werden : 



Z 



Hat man die Zahl F„ auf die Form Fn = ~- gebracht, 



unter Z„ und iV„ relative Primzahlen verstanden, so kann 

 der Nenner N„ (abgesehen von den Primzahlen 2 und 3, 

 die noch gesondert zu untersuchen sind) nur Primzahlen 

 2) von der Form 6/);-f-l enthalten, die so beschaffen sind. 



