Den Bernnulli'schcii Zahlen analoire Zahlen. 249 



dass j> — 1 ein Divisor von 6?« i.st; und zwar können solche 

 Primzahlen p nur in erster, nicht in höherer Potenz in 

 iV„ aufgehen. 



Die Funktion q){u) ^ p{ji — fzr~)' 



Für die weitere Untersucliung ist es von Bedeutung, eine za 

 der von Hurvvitz^) benutzten Eisenstein' sehen Funktion qp(») ana- 

 loge Funktion zu tinden, das lieisst in diesem Falle eine elliptische 

 Funktion, die für a -= versehwindet, deren Entwicklung, mit 

 einem linearen Gliede beginnend, nach dritten, eventuell sechsten 

 Potenzen von u fortschreitet und welche eine leicht herzustellende 

 komplexe Multiplikation zulässt. 



Da man aus Clleichung (8) -j-^^^ — als die eine Nullstelle von 



jp (u) erschliesst'-), so kommt man durch blosse Spekulation dazu, 



<? (?( ; ) als zweckdienliche Funktion zu vermuten. Eine 



'^ ^ 1 — Q ^ 



nähere Untersuchung dieser durch blosse Verschiebung des Null- 

 punktes aus p (i() abgeleiteten Funktion wird diese Vermutung tat- 

 sächlich bestätigen. 



Aus dem Additionstheorem (7) von p (?/) kann man folgende 

 zwei Relationen') herleiten: 



(^7, ) Pin- ^^— ) . p (u + -p^— ) 



(27.) p {U — y^) + p (ll -f y 



Daraus lässt sich mit Leichtigkeit qp(«) = p{u — r-^ — ) ratio- 

 nal in p (ll) und p (ii) ausdrücken. Zunächst erhält man 



(27,) p (u - j^) - p {ZI + y:^^-) = -^ 



und aus (270) und (273) durch Elimination von p{ii-\- ._ )' 



(28) qp (u) = p{u- j^^) = -^,^-, 



dem man unter Berücksichtigung der Differentialgleichung von p («) 

 auch die Form geben kann: 



') A. Hurwitz. 1. c. S :;. 



-) V^'l. auch: V. Dänischer, l. c. 



