Den Bernoulli'sc-hen Zahlen analoge Zahlen. 253 



Unsere Aufgabe besteht nun darin, diese Zahlen «, ß; e,^, s^ ; 

 öj , ö^ • • • zu bestimmen. 



Es bedeute j) irgend eine von den Primzahlen j)i, Vn ' ' • Vu 

 und ö heisse ihr zugehöriger Zähler. 



Nun zerlege man die Primzahl p in ihre primären komplexen 

 Primfaktoren ^) 



(45) p == m m = {a 4- h q) {a + h p^) • 



Multipliziert man die Gleichung (44) mit 3», so erhält man die 

 Kongruenz 



(46) m F„ = ^ (mod. m), 



die man jetzt weiter umzuformen hat. Es wird sich nämlich 

 empfehlen, in diese Kongruenz diejenige Grösse % einzuführen, die 

 bei der Zerlegung der Primzahl p in die Summe eines einfachen 

 und eines dreifachen ganzzahligen Quadrates, die stets möglich ist, 

 auftritt : 



(47) 2J = r + 3$ö^ 



diese Zahl 51 mit solchem Vorzeichen genommen, dass die Kon- 

 gruenz besteht 



(48) % = {- 1)~~~ (mod. 3) 



Zum Zwecke der Feststellung des Zusammenhangs der 

 Zahlen a,h der primären Primzahl }» = a + />p mit den Zahlen 

 % und 33 hat man drei Fälle zu unterscheiden. 



Bei der Zerlegung von p in die primären Primfaktoren sei 



I. a ungerade und h ungerade. 

 Dann bestehen die Gleichungen : 



^ '' l2<8= a-h 



IL a gerade und h ungerade. 

 In diesem Fall kann man die primäre Zahl ui = a-\-bQ 

 durch Multiplikation mit der Einheit q in eine Zahl DiQ ^= — h -\- 

 {a ~h) Q verwandeln, welche wieder die Eigenschaft der Zahl in 

 in (I) besitzt. Daher gilt hier : 



') Paul Bach mann, 1. c 



