Den Benioulli'.sclien Zahlen aiialoire Zahlen. 255 



Jetzt soll die linke Seite dieser Kongruenz nach Potenzen 

 von n entwickelt werden. Zu diesem Zweck hat man nur das 

 Produkt der aus (30) und (32) resultierenden Reihen 



— (p ( — m l ii) = — m u -i-.^«K ( — ■ »0'""^ ' 



(3n + l}! 



q){iu) u ' ^^f^» (3„_ ])! 



['S 



die Gestalt 



zu bilden. In diesem Produkt besitzt der Koeffizient des Gliedes 



(52) (6i0l * "' ' ßi'. ~-\- (Ö'04 ■ "*' ■ ß-n-l' «1 (j^'Ol ■ "^^ ' ßln-'- «2 



H h(6«)ß"-2-«2""~'''-/3,- «2,.-i— Gn+1 •"^""^'•"2" • 



Hierin sind alle Glieder vom zweiten ab durch tu teilbar. 

 Denn aus der in § 5 entwickelten Eigenschaft, dass die Zahlen 

 «1, «.,, •••«„••• sämtlich und von den Zahlen ßi, ßo, • • ■ ß,i • • • die 

 mit ungeradem Index: ß^, ß^, • • - ßz/.-!, • • • ganze Zahlen sind, 

 geht zunächst hervor, dass die Glieder 



kongruent Null (mod. m) sind. 

 In den andern Gliedern 



= «,„_,, . ((nOo..-..,. + , • ^^ • 2"-' . (0"- ( (1 - qY"-- 3) . m F, 



enthält m • F,, den Faktor m nicht mehr unter den Faktoren des 

 Nenners, und da 



((in)! »»''''-'''■■ /,, N »««'•-"■ 



((3fc)!((3tt — 6A;)! 6» — 6/c+l "^ ^"^ (in — G/c+l' 



— — j- für 9- > aber mindestens ein Mal den Faktor m im Zähler 



r -+- 1 



enthält, so sind auch diese Glieder kongruent Null (mod. m). 



m" " 

 Der Koeffizient des Gliedes ,,. ,, in der Entwicklung von 



/ . V (hn): ^ 



,. , nach Potenzen von 7i ist also kongruent — ihi • m • ß,„ 

 nach dem Modul m. 



