Den BernouUi'scheii Zahlen analofre Zahlen. 257 



Entwicklung der Ableitungen von (p (u) nach den Potenzen von «p (a). 



Da <p {h) dieselbe Differentialgleichung befriedigt wie p {u), 

 so geht man zweckmässig bei der Aufstellung der Gleichungen, 

 durch welche sich die Ableitungen von qp (h) durch die Potenzen 

 von qp (u) und umgekehrt ausdrücken, von der Funktion p (u) aus 

 und ersetzt dann nur in der Schlussgleiclmng überall das Argu- 

 ment u durch u j-^^^ — , wodurch sich p (u) in qp («) verwandelt. 



Das Additionstheoreni (7) von p (u) liefert, unter Benutzung 

 der abkürzenden Bezeichnungen : 



(54) p (u) = z, p {v) = t 



die Gleichung 



(55) \{9{u-^-v)-^p{ii-i^] 



zH + 3t^-Q 



yz-tf 



Entwickelt man hierin die linke Seite nach Potenzen von i\ 

 die rechte Seite nach Potenzen von z, so entsteht 



Nun ist 



^g^ = 2^ {(2M-- 1) <+'0-) - 2 (m - 1) g>" -■-•(i-)} 



oder 



'^'*" 2ii {(2/aH - 1) . ^•" + '— 2Ca - 1) t"-') 



(U- 

 und für lu. = — r 



* (,J ) 



2r{(2,--l)-^-2(,-+l)-^-} 



Daher lässt sich (56) auch schreiben 



d 



cVz «■-"• 2 , -^^ yir) z'- 



'{-¥) 





(2r)! t- ' ;f^, dv- '2r 



Sntwicklungskoeffizient 

 ein, so lässt sich etwa darstellen 



Führt man die Entwicklungskoeffizienten der Potenzen von 

 1 _ 1 



t ~ p{v) 



1 (2.-) V-'' , (2r) tj2.-rti ^ (2r) o" . 



"r^ ~ ^2r J^rjT "^ *2'-4 « T^+H)! "' ' ' ^21 ' (2 7)! "*" 



