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Dabei kommen nur solche Potenzen von v vor, deren Ex- 

 ponenten kongruent 2r (mod. 6) und grösser oder gleich 2r sind; 

 es verschwinden also alle diejenigen s,''^ , für die nicht r~^ (mod. 3) 

 ist, und ebenso alle diejenigen, für die r > l ist. 



Differenziert man die Gleichung (57) 2 n Mal nach v und 

 setzt sodann v == 0, so erhält man die gesuchte Darstellung der 

 (2 »)""' Ableitung von z durch die Potenzen von z, nämlich 



= —2 





du'" [ dv' 



oder bei Benutzung der eingeführten Koeffizienten £,"^' : 



d'^"p(u) ,-, (*) -1^ (2,-) 1 ,.. . , ,s 



-d^ = - - ^.,-+^_^.«+.3-^-^'Oo m 



Trägt man jetzt beiderseits statt p (u) die Funktion (p (ii) = 

 i'^ y^ ^ ) ^in» so entsteht die gesuchte definitive Beziehung 



d'-"cp{u) o **' 1 "S7 (^ — •^^' J-''' 'P'W 



Hierin hat man die Summe nur über diejenigen Werte von 

 r zu erstrecken, für welche rzEEn + l (mod. 3) und welche über- 

 dies < « + 1 sind oder, um die zwei Bedingungen in eine einzige 



zu vereinen, für welche 7, eine ganze, nicht negative Zahl 



wird; denn alle übrigen Glieder der Summe werden zu Null. 



— ■—- ist nun eine ganzzahlige Reihe; ferner ist die Zahl 

 «2' , durch jede Primzahl teilbar, die zwischen 2n — 2r + 3und 

 2 n -\- 3 liegt, denn schon 



ist eine ganzzahlige Potenzreihe, weil iv die Differentialgleichung 

 besitzt 



tt;'^ ^ 1 — iv^, woraus ty" = — 3if^ (62) 



folgt und weil iv und iv' für i' = ganze Zahlen sind.^) 



Bedeutet jetzt 2n-{-l eine Primzahl, so wird f,,,' , durch 

 2 « + 1 teilbar sein, sobald r > 2 ist. Daraus ergiebt sich für 

 (60) die Kongruenz: 



») Vgl. A. Hurwitz, 1. c. § 1. 



