262 Karl Matter. 



§ 9. 

 Die Entwicklungskoeffizienten der Potenzen von (p (u) . 



Die Entwicklung von q)" (ii) lässt sich, nachdem man das 

 Argument ii durch i u ersetzt hat, bequem auf die Gestalt bringen 



worin r^"^ = 2"- n\ , wie man aus Gleichung (30) erschliessen kann. 

 In dieser Reihe verschwinden alle t]"^ , für die k inkongruent n 

 (raod. 3) und für die k < n ist. 



Die Kongruenz (75) liefert nun durch Koeffizientenvergleichung: 



ri"'_^ = — lh>-^ ' D„ (mod. p) (78) 



und 



Diese zweite Kongruenz verwandelt sich durch wiederholte 

 Anwendung in die folgende 



C-, = ('"^)'-''r(™'"3.i;), (79) 



unter r eine positive ganze Zahl verstanden. 



Diese Kongruenz führt die Reste der Koeffizienten in der 

 Entwicklung von (p" (i() nach dem Modul j; auf die Reste der- 

 jenigen Koeffizienten zurück, deren Index unter jp — 1 liegt oder 

 höchstens gleich p — 1 ist. 



In dem speziellen Fall n ^= p — 1 gewinnen in Bezug auf das 

 Endziel dieser Untersuchung die Kongruenzen (78) und (79) ein 

 ganz besonderes, erhöhtes Interesse. In diesem Falle wird nämlich 



V. = C" = 2- . (j> - 1) ! = - 1 (mod. p) 



auf Grund des Fermat'schen und Wilson'schen Satzes. 

 Daher folgt aus (78) die Kongruenz 



oder auch (mod. m) . 



Es muss nun versucht werden, die rechte Seite dieser Kon- 

 gruenz mit 5( in Beziehung zu bringen, wobei ?( die aus (47) und 

 (48) resultierende Bedeutung zukommt. 



