Bemerkungen 

 über das Rechnen mit Grenzwerten und Irrationalzahlen. 



Von 

 H. Burkliardt. 



Die arithmetische Behandlung irrationaler Grössen gründet 

 sich bekanntlich auf folgende drei Sätze: 



1. Wenn eine Scheidung sämtlicher rationalen Zahlen in zwei 

 Klassen a, A gegeben ist, derart, dass jedes a kleiner ist als 

 jedes A, dass aber weder unter den a eine grösste, noch unter den 

 A eine kleinste ist, so gibt es eine (und nur eine) Irrationalzahl 

 «, die grösser als jedes a und kleiner als jedes A ist. 



2. Wenn eine Folge von unendlich vielenZahlen a„//j = 0, 1,2,---) 

 gegeben ist und wenn zu jeder gegebenen Grösse s eine ganze 

 Zahl N gefunden werden kann, von der Art, dass 



I cip — a J < € 



ist, sobald j;, q beide > N sind, so gibt es eine (rationale oder 

 irrationale) Zahl a mit der Eigenschaft, dass zu jedem gegebenen 

 £ ein N so gefunden werden kann, dass 



\ a.p — a I < e 

 ist, sobald jj > A"" ist. 



3. Wenn eine Folge von unendlich vielen Zahlen gegeben ist 

 und wenn stets «„ + 1 > a„ ist, aber jedes a„ kleiner ist als eine 

 von n unabhängige Zahl J/, so giebt es ein a der unter (2) be- 

 zeichneten Art. 



Die verschiedenen Theorien der irrationalen Grössen (Euklid- 

 Dedekind; G. Cantor; Weierstrass) unterscheiden sich dadurch, 

 dass je einer dieser Sätze als Definition an die Spitze gestellt 

 und die beiden andern dann als Lehrsätze aus ihm abgeleitet 

 werden. 



