ISO 11. Burkhaidl. 



(Gelegentlicli findet man in der Litteratur übrigens noch eine 

 vierte Art der Einführung einer Irrationalzahl, die bis zu einem 

 gewissen Grade die Vorteile des zweiten und des dritten Verfahrens 

 vereinigt, aber freilich auch mehr voraussetzt, als eigentlich erfor- 

 derlich ist. Es wird nämlich angenommen, man sei im Besitz 

 von zwei unendlichen Zahlenfolgen, einer der a, in der immer 

 a„ + x> a., , und einer der h, in der immer h„ 4. , < i„ ist, und die 

 überdies so beschaffen sind, dass jedes h grösser als jedes a ist und 

 dass h„ — a„ kleiner als jede gegebene Grösse e gemacht werden kann, 

 indem man n hinlänglich gross nimmt; dann, heisst es, konver- 

 gieren sowohl die a als die h gegen eine gemeinsame Grenze a). 



In vielen Fällen — jedenfalls in allen Fällen der Anwen- 

 dungen — wird man sich nun nicht damit begnügen können, die 

 Existenz einer solchen Zahl bewiesen, bezw. postuliert zu haben, 

 sondern man wird verlangen, sie mit vorgegebener Genauigkeit 

 zu berechnen. Als „mit der Genauigkeit £ berechnet" wird 

 eine Zahl a dann angesehen, wenn zwei rationale Zahlen a, A 

 bekannt sind von der Art, dass a < a < A und \ A — a | < « ist. 

 Insbesondere heisst a „mit einer Genauigkeit von v Dezimalstellen 

 berechnet", wenn in der eben ausgesprochenen Definition « -■= 10"" 

 genommen ist. Häufig verlangt man sogar dabei noch etwas mehr: 

 man verlangt zwei Zahlen der Form 



(a — ^) 10- " und (« -f- ~^ IQ- 



unter a eine ganze Zahl verstanden, anzugeben, zwischen denen 

 a eingeschlossen ist. Wenn diese weitergehende Forderung ge- 

 meint ist, soll im folgenden der Ausdruck „auf v Stellen genau" 

 gebraucht werden. 



Es ist nun eine für das Rechnen mit solchen Zahlen funda- 

 mentale Thatsache, auf die meines Wissens noch nicht öffentlich 

 aufmerksam gemacht worden ist — wenn sie auch sicher viele 

 Mathematiker schon mehr oder weniger deutlich erkannt haben — , 

 dass zwischen den angeführten Sätzen ein wesentlicher Unter- 

 schied besteht, sobald es sich darum handelt, nicht nur die Exis- 

 tenz einer Irrationalzahl zu beweisen, sondern sie selbst mit vor- 

 geschriebener Genauigkeit zu berechnen. 



Am vollkommensten gelingt das, wenn die Definition der zu 

 berechnenden Irrationalzahl direkt auf den ersten Satz gestützt 



