Bemerkungen über das Reclnien mit Greiizweiien u. Irrationiilzalilen 181 



werden kann, ohne dass man nötig hätte, den Satz (2) oder (3) 

 oder einen aus diesen abgeleiteten Satz zu Hilfe zu nehmen. Als 

 „gegeben" wird nämlich eine solche Scheidung der rationalen 

 Zahlen in zwei Klassen dann — und nur dann — angesehen 

 werden können, wenn es möglich ist, von jeder gegebenen ratio- 

 nalen Zahl durch ausführbare Operationen |also in letzter Instanz 

 durch eine endliche Anzahl von Additionen und Multiplikationen] 

 zu entscheiden, ob sie zu der einen oder zu der andern Klasse 

 gehört. (Das klassische Beispiel hiefür ist die durch das Zeichen 

 „V^" postulierte Irrationalzahl : hier gehört eine positive rationale 

 Zahl zu den a oder zu den A, je nachdem ihr Quadrat kleiner oder 

 grösser als 2 ist). Immerhin reicht diese Möglichkeit noch nicht aus, 

 wenn man a durch eine von vorneherein begrenzbare Anzahl von 

 Schritten mit vorgegebener Genauigkeit berechnen will ; es ist 

 vielmehr dazu noch eine Bedingung erforderlich, die allerdings in 

 den weitaus meisten Fällen, in denen man auf diese Frage ge- 

 führt wird, von selbst erfüllt ist: man muss nämlich von einer 

 Zahl rtj schon wissen, dass sie zu den a, und von einer andern 

 ^1, dass sie zu den A gehört. Ist das der Fall, so kann man 

 z. B. zunächst die Zahl ^ {A^ + üy) darauf untersuchen, ob sie 

 zu den a oder zu den A gehört und damit das Intervall der 

 Zahlen, von denen die Entscheidung noch aussteht, auf die Hälfte 

 reduzieren. Durch hinreichend oftmalige Wiederholung dieses 

 Verfahrens kann dann dieses Intervall beliebig klein gemacht, 

 m. a. W. a mit beliebiger Genauigkeit berechnet werden ; und 

 man ist auch in jedem einzelnen Fall im Stande von vornherein 

 anzugeben, mit wie oftmaliger Wiederholung man auf jeden Fall 

 sicher ausreicht. (Natürlich lässt sich das Verfahren in der 

 mannigfaltigsten Weise modifizieren, z, B. so dass es für Decimal- 

 bruchrechnung bequem wird ; oder man kann nach dem Prinzip 

 der Farey 'sehen Reihen vorgehen; u. s. w.). Ob freilich zwei 

 Irrationalzahlen einander gleich sind, lässt sich weder nach dieser 

 Definition noch nach einer der beiden andern durch Rechnung 

 entscheiden; d. h. wenn sie verschieden sind, so muss sich nach 

 einer endlichen (aber nicht vor Durchführung der Rechnung an- 

 gebbaren) Zahl von Operationen herausstellen, welche die grössere 

 ist; sind sie aber gleich, so führt beliebige Steigerung der Ge- 

 nauigkeit der Rechnung nicht zur Entscheidung. 



