182 H. Burkhardt. 



Nicht ganz so einfach liegt die Sache, wenn man die Be- 

 rechnung eines Grenzwerts auf den zweiten Satz stützt. Man hat 

 zwar « mit der Genauigkeit £ berechnet, sobald man die nach dem 

 Satze zu diesem e gehörende Zahl N bestimmt und üx berechnet 

 hat. (Sind die a selbst als Grenzwerte gegeben, so kann man 

 etwa die zu e/2 gehörende Zahl iV bestimmen und dann a^ mit 

 der Genauigkeit e berechnen). Aber damit hat man noch kein 

 Mittel, um von einer beliebig vorgelegten rationalen (oder auch 

 irrationalen) Zahl ß zu entscheiden, ob sie kleiner oder grösser 

 als a ist ; eine solche Entscheidung ist nur dann auf dem ge- 

 nannten Wege möglich, wenn \ ß — a | > e ist, und wie klein man 

 dazu £ nehmen muss, kann man nicht wissen, solange man a nicht 

 kennt. Man kann zwar auch hier durch wiederholte Halbierung 

 das Unbestimmtheitsintervall beliebig klein machen ; wenn aber 

 zufällig a gerade gleich ß ist, kann die blosse Rechnung nie zur 

 Erkenntnis dieser Thatsache führen. Was also bei der ersten 

 Definition nur von der Vergleichung der Irrationalzahlen unter 

 einander galt, gilt bei dieser zweiten auch von der Vergleichung 

 einer rationalen mit einer irrationalen Zahl, ja selbst von der 

 Vergleichung zweier Rationalzahlen, sofern sie als Grenzwerte 

 eingeführt sind. Damit hängt zusammen, dass es nicht immer 

 möglich ist, einen Grenzwert in dem oben bezeichneten engeren 

 Sinne „auf v Stellen genau" zu berechnen. Ist der Grenzwert 

 nämlich, ohne dass man das vorher weiss, genau gleich einem un- 

 geraden Vielfachen von 2~' 10"", so kann man die Näherungs- 

 rechnung noch so weit treiben, man wird doch nie zu einer Ent- 

 scheidung gelangen, ob er grösser oder kleiner ist; und ist er 

 einem solchen Vielfachen nicht gleich, so muss sich das zwar 

 schliesslich herausstellen, aber man kann nicht vor Beginn der 

 Rechnung angeben, wie klein man € nehmen muss, um die Ent- 

 scheidung herbeizuführen. 



Sind dagegen zwei Zahlen ß, y vorgelegt, so kann immer 

 mindestens für die eine von ihnen die Entscheidung getroffen 

 werden, ob sie kleiner oder grösser als a ist; man braucht dazu 

 nur a mit einer Genauigkeit £ < & — a zu berechnen. 



Viel weniger günstig liegt die Sache, wenn eine zu berech- 

 nende Irrationalzahl durch den dritten Satz gegeben ist, also als 

 Grenzwert einer wachsenden, aber nicht über alle Grenzen 



