Bemerkungen über das Rechnen mit Grenzwerfen n. Irrationalzahlen. 183 



wachsenden Folge. Man kann zwar auch dann, theoretisch zu 

 reden, von jeder rationalen Zahl entscheiden, ob sie zu den a oder 

 zu den A gehört; aber diese Entscheidung verlangt, wenn sie im 

 letzteren Sinne ausfallen soll, die Vergleichung mit sämtlichen «,„, 

 also die Fällung unendlich vieler Urteile, die nicht ausführ- 

 bar ist. Daher kann man zwar, theoretisch zu reden, auch in 

 diesem Fall a mit beliebiger Genauigkeit berechnen — man braucht 

 nur in der Folge der «„ hinlänglich weit zu gehen — ; aber man 

 hat bei Ausführung der Rechnung kein Kriterium dafür, ob man 

 schon hinlänglich weit gegangen ist, und noch weniger kann man 

 vor Beginn der Rechnung wissen, wie weit zu gehen erforderlich 

 oder hinreichend sein wird. In allen Fällen, in welchen die Exis- 

 tenz eines Grenzwerts zwar bewiesen, aber nicht zugleich die Mög- 

 lichkeit gegeben ist, ihn zu berechnen, wird man bei näherem 

 Zusehen finden, dass das darauf beruht, dass von dem hier be- 

 sprochenen Satz (3) Gebrauch gemacht ist: so bei dem Satz, dass 

 eine stetige Funktion ein Maximum hat; bei dem darauf be- 

 ruhenden Argand'schen (ersten Cauchy'schen) Beweis des Funda- 

 mentalsatzes der Algebra ; bei Poincares Beweis des Satzes, dass jedes 

 Integral einer Riccati'schen Differentialgleichung z -{- z^ — K= 

 (bei bestimmten Voraussetzungen über K) gegen einen bestimmten 

 Grenzwert konvergiert, wenn z durch reelle positive Werte über 

 alle Grenzen geht; bei C. Neumanns ursprünglichem Beweis des 

 Satzes, dass zu einem konvexen Gebiet eine Konfigurationskon- 

 stante gehört, die kleiner als 1 ist, u. s. w. 



Ich bin seit längerer Zeit zu der Auffassung gekommen — 

 und was Hensel in der Vorrede zu seiner Ausgabe von Kroneckers 

 zahlentheoretischen Vorlesungen mitteilt, scheint mir keinen Zweifel 

 mehr übrig zu lassen — dass Kroneckers ablehnende Haltung gegen- 

 über der Weierstrass'schen Definition der Irrationalzahlen und der 

 auf diese Definition gebauten Weierstrass'schen Funktionentheorie 

 gerade hier ihre Wurzel hat. (Selbstverständlich rede ich hier 

 nicht von dem Spiel mit dem Gedanken einer gänzlichen Abschaf- 

 fung der Irrationalzahl, in dem sich Kroneckers Aeusserungen 

 in seiner letzten Zeit zuweilen gefielen.) Kroneckers eigene Auf- 

 fassung des Irrationalen scheint, soweit es sich aus seiner Behand- 

 lung desselben bei ernsthaften Untersuchungen erkennen lässt, der 

 Dedekind'schen nahegestanden zu sein. Immerhin zeigt seine Be- 



