über hülokle Systeme von Düolettarionen. 119 



ZU scheiden. Die Theorie der aligemeinen algebraischen Zahlen würde 

 folgende Definition nahelegen: „Ein rationales Düotettarion t heisst 

 „ganz", wenn es einer charakteristischen Gleichung zweiten Grades 

 genügt, bei welcher der höchste Koeffizient gleicii 1, die beiden an- 

 dern Koeffizienten ganze rationale Zahlen sind*" : 



f — r/t -\- f/i= 0. 



Diese Definition wäre mit der folgenden äquivalent: „ein rationales 

 Düotettarion t heisst „ganz", wenn seine Spur und seine Norm gleich- 

 zeitig ganze rationale Zahlen sind". — Alle Düotettarionen, welche 

 unter diese Definition fallen, sind aber in ihrer Gesamtheit nicht als 

 „ganze Zahlen" anzusehen, denn sie bilden eine Zahlenmenge, deren 

 Elemente sich durch Addition und Multiplikation im allgemeinen 

 nicht reproduzieren. Sind nämlich t und t^ so beschaffen, dass 



S (t) = « -f- d' = ganze Zahl, ebenso S (^,) = «i + öj, 



ferner N (t) = ad — ßy und N(ti) = a^^^ — ßi y^ 



gleichzeitig ganze Zahlen werden, so ist zwar die Spur ihrer Summe 

 immer wieder ganzzahlig: 



S{t^i,) = S{i)-^S{t,), 



hingegen die Norm ihrer Summe im allgemeinen gebrochen: 



iV(< + Q = (« + «,) (ö + \) - i^ß + |3.) {y + y,) 

 = Ni^t) + N{t,) + («ö, H- «. ö) - ißYi + /5, ?)■ 



Ebenso wäre das Produkt aus 2 solchen Tettarionen im allgemeinen 

 nicht wieder „ganz", weil die Spur eines solchen Produktes: 



S{tt,) = aa,+ßy^+ß,y^d,d 



im allgemeinen eine gebrochene Zahl sein wird. Nun müssen wir 

 aber von unsern noch zu definierenden „ganzen Düotettarionen" 

 natürlich verlangen, dass sie sich durch Addition und Multiplikation 

 reproduzieren. Die Bedingung, ganzzahlige Spur und ganzzahlige 

 Norm zu besitzen, ist zur Charakterisierung nicht hinreichend. Man 

 könnte die Frage auf werfen, ob sich der oben definierte Bereich aller 

 Düotettarionen von ganzzahliger Spur und Norm vielleicht in Teil- 

 gebiete zerlegen lässt, von denen jedes einzelne für sich ein System 

 von „ganzen Tettarionen" wäre. Wir wollen aber diese Untersuchung 

 hier nicht durchführen, sondern uns auf die Analogie mit den gewöhn- 

 lichen rationalen Zahlen stützen. Die ganzen rationalen Zahlen be- 

 sitzen folgende i charakterisierenden Eigenschaften: 



