120 L. Gustav Du Pasquier. 



9. a) Sie reproduzieren sicli durcli Addition und Subtraiition; 



b) man kann aus einer endlichen Anzahl unter ihnen, durch 

 ausschliessliche Anwendung von Addition und Subtraktion, 

 alle übrigen ableiten; 



c) sie reproduzieren sich durch Multiplikation ; 



d) das System der „ganzen Zahlen" kann im betreffenden 

 Zahlenkörper nicht erweitei-t werden, ohne eine dieser 

 Eigenschaften zu verlieren. 



Dieselben 4 Forderungen werden wir nun an jedes System von 

 „ganzen Düotettarionen" stellen. Um dies bequem und kurz aus- 

 drücken zu können, hat man folgende allgemeinen Begriffe eingeführt: 



(Die folgenden Definitionen sind auch in solclieii Tettarionenlcörpern anwend- 

 bar, bei denen die Komponenten «, ß, y, S beliebige Zablen vorstellen.) 



Eigenschaft a): Eine Mannigfaltigkeit [T] von unendlich vielen 

 Düotettarionen heisst „ein Modul", wenn durch Addition oder Sub- 

 traktion irgend welcher unter ihnen stets Düotettarionen erzeugt 

 werden, die immer wieder derselben Mannigfaltigkeit [T\ angehören. 



Eigenschaft b): Ein System [T] von unendlich vielen Tetta- 

 rionen bildet einen „endlichen Modul", wenn es möglich ist, in ihm 



die Tettarionen i,, <2' ^n *o auszuwählen, dass das ganze System 



[T] aus allen und nur aus den Tettarionen 



«(j <i + nu fo -i- -\- III „ tn 



besteht, die hervoi'gehen, wenn «(,, vi.,, )/;„ unabhängig vonein- 

 ander alle ganzen rationalen Zahlen durchlaufen. Die Tettarionen 



^1,^21 ini deren Anzahl endlich vorausgesetzt wird, heissen „eine 



Basis des Moduls", jedes einzelne von ihnen „ein Glied der Basis" ; 

 der Modul selbst heisst dann „ein //-gliedriger" und wird mit 

 [r] = [ij, f^, Q bezeichnet. 



Eigenschaft c): Eine Mannigfaltigkeit [./] von unendlich vielen 

 Tettarionen heisst „ein Integritätsbereich", wenn in dieser Mannig- 

 faltigkeit die Operationen der Addition, Subtraktion und Multiplikation 

 unbeschränkt ausführbar sind. 



Die Eigenschaft, einen Integritätsbereich zu bilden, ist für sich 

 allein nicht genügend, um „ganze Zahlen' zu charakterisieren; dies 



zeigt z. B. der aus -^^ erzeugte Integritätsbereich (a und ii bedeuten 



beliebige ganze Zahlen) ; es muss vielmehr die Eigenschaft b) hinzu- 

 treten : 



Definition: Ein Integritätsbereich [/] heisst „endlich", wenn 

 es möglich ist, im Systeme |JJ eine endliche Anzahl von Tettarionen 

 ti, t-i, t„ so auszuwählen, dass aus diesen durch ausschliessliche 



